:
: Извините, я не спрашивал, как пределение
: окружности переписать в терминах мировой
: функции.
: Я спрашивал, правильно ли - все утверждения
: эвклидовой геометрии переписать в терминах
: мировой функции.
: Я правильно понял - не все, а только некоторые?
: Тогда какие именно?
Переписать в терминах мировой функции можно любые утверждения евклидовой геометрии, но при этом некоторые (специфические) утверждения будут выглядеть очень странно, и Вы их просто не узнаете.
: : Другими словами, пытаясь сформулировать утверждение об отношении длины окружности к ее диаметру в терминах мировой функции, Вы встретите массу проблем. Это связано с тем, что такое простое утверждение об отношении является не столько утверждением геометрии, сколько средством описания евклидовой геометрии, содержащим в себе специфику евклидовой геометрии.
:
: Отношение окружности к ее диаметру -
: это есть во многих гиеометриях.
: Чему именно оно равно - это утверждение,
: специфичное для данной геометрии.
: Я правильно понял - специфичные для эвклидовой
: геометрии утверждения надо исключить из
: Вашей методики построения геометрии?
: А как узнать, какие именно утверждения в эвклидовой
: геометрии специфические?
Исключать специфические утверждения евклидовой геометрии из общегеометрических действительно разумно, поскольку в них очень много евклидовой специфики. Формальное различие очень простое. Все специфические утверждения евклидовой геометрии содержат ссылку на размерность евклидовой геометрии. В Вашем примере речь идет о свойствах окружности в двумерной евклидовой геометрии. Попробуйте сформулировать проблему об окружности без ссылки на двумерную евклидову геометрию, и у Вас ничего не получится. Однако, это вовсе не исключает того, что отношение длины ЕВКЛИДОВОЙ окружности к ее диаметру можно быть выражено в терминах мировой функции. В традиционном подходе евклидова окружность определяется двумя точками (центром и любой точкой на окружности). Вся остальная информация об этом геометрическом объекте (окружности) заключена в ссылке на двумерность евклидовой геометрии.
Вы желаете определить отношение длины окружности к диаметру именно в евклидовой (двумерной) геометрии, представив его в терминах мировой функции и сделав возможным его обобщение на любую геометрию. Тогда Вы вводите две точки, определяющую сферу (центр сферы О и точку А на поверхности сферы). После этого определяете окружность, как результат пересечения сферы с плоскостью, определяемой тремя точками B,C,D. В результате Вы получаете геометрический объект, определяемый пятью точками А,О,B,C,D. Если, геометрия евклидова, то мировая функция удовлетворяет целому ряду ограничений. В результате геометрический объект ('окружность'), определяемый пятью точками А,О,B,C,D, будет реально зависеть только от двух. В общем случае произвольной геометрии 'окружность' будет зависеть от всех пяти точками. Решайте сами, можно ли и следует ли называть такой объект окружностью. Но определить его можно. Если Вы накладываете на множество окружностей, определяемое тремя точками-параметрами, накладывается условие евклидовости, то происходит вырождение множества. Все окружности становятся изометрически эквивалентными. Я не рассматриваю еще задачу определения длины 'окружности' и ее диаметра, которая может представить определенные трудности. Но геометрический объект, называемый 'двумерной окружностью', построить всегда можно, хотя не исключается случай, что это может быть пустое множество точек, но это уже детали.
Таким образом, специфика евклидового описания при попытках распространить его на произвольную геометрию проявляется в появлении дополнительной информации в виде зависимости геометрического объекта от дополнительных точек, выбор которых не существенен в евклидовой геометрии, но важен в произвольной геометрии. Этот вопрос разбирался в оригинальных работах (смотри, например, " Tubular geometry construction as a reason for new revision of the space-time conception." (Printed in What is Geometry? polimetrica Publisher, Italy, pp.201-235, русс версия http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/wpg1r.ps )
: : Ваше естественное желание, чтобы простые утверждения евклидовой геометрии могли быть просто сформулированы в любой геометрии, не может быть осуществлено, вообще говоря, просто потому, что мы, к сожалению, принимаем за геометрию то, что геометрией не является, а является лишь способом описания геометрии.
:
: Не, меня интересует другое.
: В Вашем:
: "Метод деформации состоит в следующем. Все утверждения собственно евклидовой геометрии выражаются в терминах евклидовой мировой функции σ _E. Если теперь евклидову мировую функцию σ _E заменить во всех утверждениях евклидовой геометрии на мировую функцию σ другой геометрии, то получатся все утверждения этой другой геометрии."
:
: Как узнать, какие утверждения включать а какие
: нет. Все включать, как мы уже выяснили,
: нельзя.
Включать можно все утверждения евклидовой геометрии. Другой вопрос, в какой мере это целесообразно. Утверждения, содержащие ссылку на размерность и систему координат, являются специфическими утверждениями евклидовой геометрии. Их можно сформулировать в любой геометрии. Другое дело, что они могут быть бессмысленными, потому, что отражают способ описания евклидовой геометрии.
: Так как специфические для эвклидовой геометрии
: утверждения надо исключить из этой процедуры.
|
» Альтернативный форум