: : Метод деформации состоит в следующем. Все утверждения собственно евклидовой геометрии выражаются в терминах евклидовой мировой функции \sigma _E. Если теперь евклидову мировую функцию \sigma _E заменить во всех утверждениях евклидовой геометрии на мировую функцию \sigma другой геометрии, то получатся все утверждения этой другой геометрии.
:
: Вы продолжаете настаивать, что - "все утверждения"?
: Например, утверждение - отношение длины окружности
: к ее диаметру равно пи - включать?
:
: Или всетаки только определения?
:
: И тогда - чему равно отношение длины окружности
: к ее диаметру - в новой геометрии нужно будет
: доказывать?
Прежде чем делать утверждение об отношении длины окружности к ее диаметру, нужно определить, что Вы называете окружностью и ее длиной и что Вы называете диаметром окружности и его длиной. Дело в том, что в традиционном утверждении о том, что указанное отношение равно \pi, содержится специфика собственно евклидовой геометрии. Если Вы нарисуете окружность на сфере, а в качестве диаметра возьмете дугу большого круга, проходящю через центр окружности, то отношение длины окружности к ее диаметру будет отличаться от \pi. Таким образом, равенство отношения числу \pi является спецификой евклидовой геометрии. Надеяться, что это отношение будет равно \pi в любой геометрии, не приходится.
Если Вы тем не менее попытаетесь сформулировать в терминах мировой функции, что такое окружность, то Вы можете поступить следующим образом. Определить сначала сферу S, а затем определить окружность как результат пересечения сферы с двумерной плоскостью. Двумерную плоскость L можно определить как множество точек R, таких, что векторы OR, OA, OB, являются линейно зависимыми, т.е. удовлетворяют одному уравнению, содержащему точки O,A,B,R, причем точки O,A,B определяют плоскость L = OAB, а точка R является бегущей точкой, пробегающей эту плоскость. То, что L есть двумерная плоскость (в узком смысле слова) в любой геометрии, ниоткуда не следует. Пересечение плоскости L со сферой S может не быть одномерной линией, о длине которой можно что-то определенное сказать.
Другими словами, пытаясь сформулировать утверждение об отношении длины окружности к ее диаметру в терминах мировой функции, Вы встретите массу проблем. Это связано с тем, что такое простое утверждение об отношении является не столько утверждением геометрии, сколько средством описания евклидовой геометрии, содержащим в себе специфику евклидовой геометрии. Ваше естественное желание, чтобы простые утверждения евклидовой геометрии могли быть просто сформулированы в любой геометрии, не может быть осуществлено, вообще говоря, просто потому, что мы, к сожалению, принимаем за геометрию то, что геометрией не является, а является лишь способом описания геометрии. |
» Альтернативный форум