: : : Полагаю, что можно идти и предложенным Вами путем, но можно и несколько иначе, о чем уже написал в «Re: Квадратичные преобразования.» (Time). Поскольку в случае обычных квадратичных геометрий уже давно ни кто не строит их, отталкиваясь от расстояний (хотя такое абсолютно реально), а пользуются более удобным (правда интуитивно менее понятным) понятием скалярного произведения, то и в случае n-арных форм сподручнее будет нечто подобное. Площади, объемы, расстояния и т.п. должны просто выражаться через суммы и разности векторов, входящих в некую полилинейную форму.
: :
: : Я тоже думал, с чего стартовать - с поли-расстояния или с поли-скалярного произведения. Но остановился именно на поли-расстоянии, так как для него можно записать простое и понятное условие (2). Кроме того, скалярное произведение в обычном понимании (полилинейная функция) тесно связано с однородностью пространства (инвариантностью относительно сдвигов), а, как я уже отмечал, от такой однородности, возможно, придется отказаться. Именно поэтому, кстати, я и рассматривал поли-расстояние между бесконечно близкими точками.
:
: Возможно, Вы и правы, только у меня есть надежда, что переход к пространству с неоднородными свойствами возможен из линейного путем некоего конформного или обобщенно конформного отображения. В частности, если мы двухмерное псевдоевклидово пространство отобразим на внутренность единичного квадрата обычной гиперболической тригонометрической функцией arth(z), то как раз и получим некое неоднородное пространство с очень естественно устроенными свойствами. Или я что то не так понимаю?
Вопрос, все ли возможные неоднородные пространства можно получить путем "глобального" конформного преобразования.
Кстати, а Вам очень дорога именно такая кубическая форма? Или Вы могли бы ее променять на какую-то другую, но тоже кубическую? На Вашем месте я бы действовал так: записал бы наиболее общую кубическую форму, которую можно трактовать как 3-расстояние. Она бы зависела от какого-то числа параметров. Далее я бы потребовал, чтобы для этой формы существовала достаточно богатая группа инвариантных преобразований. Это бы дало какие-то ограничения на значения параметров. Если нету никаких подводных камней, то в результате получится нормальное, обладающее изометриями, кубическое 3-расстояние. |
» Альтернативный форум