: : : Рассмотрим формы:
: : : S(n,1)=x1+x2+...+xn,
: : : S(n,2)=x1x2+x1x3+...+x1xn+...+x(n-1)xn,
: : : ...
: : : S(n,m)=x1x2...xm+...
: : : ...
: : : S(n,n)=x1x2...xn
: : : - коэффициенты полинома n-ой степени с единицей при x^n, выраженные через корни. Тогда группы линейных преобразований, относительно которых эти формы инвариантны, содержат:
: : : S(n,1) - (n-1)2 параметров,
: : : S(n,2) - n(n-1)/2 параметров,
: : : ....
: : : S(n,n) - n параметров.
: : :
: : : Что интересно, S(4,3) имеет группу линейных преобразований, содержащую 0 параметров. Если откладавать по оси абцис второй аргумент в S(n,m), а по оси ординат число параметров в линейной группе симметрии соответствующей формы, то именно ВПЕРВЫЕ при n=4 S(n,n) соответствует локальному МАКСИМУМУ по параметрам группы симметрии.
: : : Всегда ли при n>4 S(n,n) будет соответствовать локальному максимуму? Возможны ли при n>4 для 2<m<n для групп симметрии форм S(n,m) локальные максимумы?
: : :
: : : С наилучшими пожеланиями!
: : : Григорий
: : :
: :
: :
: : А Вы не пробовали классифицировать n-формы на предмет допускаемых симметрий?
: Не очень ясная постановка.
:
Попытаюсь пояснее.
Выше Григорий говорит о группах "линейных преобразований, относительно которых эти формы инвариантны", имея в виду те самые выражения коэффициентов уравнения через корни. А если поставить вопрос так: какие группы линейных преобразований оставляют инвариантными n-формы (не только вышеупомянутые, а общего вида)? В зависимости от ответа на данный вопрос n-формы сгруппируются: большая часть (общий вид), скорее всего, ничего не будут допускать, формы такого-то вида - стольки-то параметрическую группу, такую-то. Ну и т.д.
Я имел в виду такую классификацию.
: Но.
: Если мы рассмотрим Н(4) с базисом
: 1,i,j,k=ij=ji;
: i2=j2=k2=1,
:
: то можно показать, (кажется, уже не верю в силу своего интеллекта :)),
Ну тогда надо все бросать, и ехать в Кисловодск ;)
: что
: автоморфизмами алгебры являются только координатные симметрии
А что означает эпитет "координатный" в данном контексте и симметрии чего (т.е. что сохраняется/остается инвариантным)?
: в количестве 16=24 штук.
:
: У элементов, полученных такими преобразованиями одно и то же хар.уравнение четвертой (!) (вот они, делители нуля!) степени.
: Несмотря на это, не все формы остаются инвариантными под действием таких преобразований. Некоторые меняют знак, что компенсируется сменой знака аргумента при подстановке корня в уравнение.
:
: Классификация автоморфизмов и соответствующих им инвариантных форм, имхо, может быть доведена до конца в случае Dim H(n) = 2^k.
: Вроде бы много ума не надо.
:
: В случае произвольной размерности _n_ похоже, что возникают какие-то заморочки, связанные с арифметической природой числа _n_.
:
: Вообще-то интересная задача.
|
» Альтернативный форум