: Поразмышлял немного над замечанием Михалыча («Чисто описательство. "Таковы вкратце экспликации наших интуиций" :)» (Михалыч)):
: : 3) S(3;w)=-4tx2-4y2t-4z2t+4t3+8yzx = 4t(t2-x2-y2-z2)+8yzx
: :
: : Не знаю!
: : Хотел бы услышать мнение(я).
:
: Вот что получилось...
:
: Если S(3) принять в качестве метрики - получим четырехмерное линейное финслерово пространство с кубической формой. В связи с тем, что именно Михалыч первым обратил внимание на данную форму в контексте фундаментальной, ее и пространство с ней связанное вполне можно называть имени Чернова:) (если, конечно, не существует более ранних аналогичных предложений). При переходе в специальный изотропный базис e1,e2,e3,e4 («Re: Пространство с метрической функцией S(4)» (Time)) данная форма принимает вид симметрического многочлена:
: S(3)=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4.
: Интуитивно представляется, что такое пространство имеет свойства, промежуточные между свойствами пространств с метриками S(2) (обычного Минковского) и S(4) (Бервальда-Моора). Используя формулу Шафера (упоминавшуюся в «Re: Необоснованные обвинения также караются :-)-:» (Time) и которую можно увидеть в статье http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=55) из S(3) получается связанная с ней полилинейная симметрическая форма от трех векторов (A,B,C), играющая в данном пространстве роль, аналогичную роли скалярного произведения в квадратичных пространствах:
: (A,B,C)=1/6(a1(b2(c3+c4)+b3(c2+c4)+b4(c2+c3))+ a2(b1(c3+c4)+b3(c1+c4)+b4(c1+c2))+ a3(b1(c2+c4)+b2(c1+c4)+b4(c1+c2))+ a4(b1(c2+c3)+b2(c1+c3)+b3(c1+c2))).
: Кстати, мало кто обращает внимание, что в обычном пространстве Минковского в изотропном базисе e1,e2,e3,e4 скалярное произведение (A,B) принимает вид:
: (A,B)=1/3(a1(b2+b3+b4)+a2(b1+b3+b4)+a3(b1+b2+b4)+a4(b1+b2+b3)),
: или, что тоже самое:
: (A,B)= 1/3(a1b2+a1b3+a1b4+a2b1+a2b3+a2b4+a3b1+a3b2+a3b4+a4b1+a4b2+a4b3).
: Естественно, что большинство народа привыкло видеть в качестве скалярного произведения пространства Минковского форму:
: (А,B)=(a1b1+ a2b2+ a3b3+ a4b4),
: однако, не трудно заметить, что это одно и тоже, только в последнем случае билинейная форма представлена не в изотропном, а в ортонормированном базисе.
: Используя трилинейную форму (A,B,C), можно попытаться определить в пространстве c S(3) аналог свойству ортогональности двух векторов. Одна из возможностей связана с формой:
: (A,A,B)+(A,B,B)=0 (однако это требует отдельного исследования).
В работе Д. Г. Павлова "ОБОБЩЕНИЕ АКСИОМ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ" http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=150
рассматриваются вопросы, связанные со скалярным произведением в подклассе полилинейных финслеровых пространств. В частности, кое-что напоминает ваше равенство (A,A,B)+(A,B,B)=0:
"...Отсюда, в частности, вытекает, что в билинейных пространствах конгруэнтность пары фигур из двух единичных векторов связана с равенством всего одной формы:
(a, b) = (a', b') (3)
которая и задает понятие угла, как параметра, характеризующего различие двух направлений.
Равенство (3) совместно с определением единичного вектора эквивалентно аксиоме о конгруэнтности треугольников из системы аксиом евклидова пространства Гильберта. Два треугольника в евклидовом пространстве конгруэнтны, если равны длины соответствующих сторон и углы между ними. Аналогичные аксиомы можно сформулировать и для псевдоевклидовых пространств. Но из определения (2) вытекает, что для полилинейного пространства с размерностью формы выше двух конгруэнтность фигур из двух единичных векторов определяется уже не одним, а большим количеством условий. Так, в пространствах с трилинейной формой (a, b, c) для конгруэнтности соответственных фигур должны быть равны две формы:
(a, a, b) = (a', a', b')
(a, b, b) = (a', b', b')
Этот кажущийся парадокс имеет простое объяснение. Действительно, говоря о пространственной фигуре, построенной на двух векторах, обычно ее представляют, как элемент плоскости, содержащейся между ребрами, которыми и являются задающие вектора. Однако это оправдано только в пространствах с билинейной формой. В пространствах с произвольной полилинейной формой с двумя векторами связаны уже не плоскости, а особого вида конусообразные поверхности, конфигурация которых зависит от метрических свойств окружающего пространства. Количество параметров, определяющих конгруэнтность таких веерообразных фигур, ограниченных по краям парами единичных векторов, может быть больше одного, что, в частности, и наблюдается в пространстве с трилинейной симметрической формой, где соответствующих величин две." |
» Альтернативный форум