: : S(3)=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4.
: : ... из S(3) получается связанная с ней полилинейная симметрическая форма от трех векторов (A,B,C), играющая в данном пространстве роль, аналогичную роли скалярного произведения в квадратичных пространствах:
: : (A,B,C)=1/6(a1(b2(c3+c4)+b3(c2+c4)+b4(c2+c3))+ a2(b1(c3+c4)+b3(c1+c4)+b4(c1+c2))+ a3(b1(c2+c4)+b2(c1+c4)+b4(c1+c2))+ a4(b1(c2+c3)+b2(c1+c3)+b3(c1+c2))).
: : ...
: : Поскольку в пространстве с S(3), кроме трансляций нет других непрерывных изометрических преобразований (сомневающиеся, могут проверить), резонно предположить, что роль вращений в нем (как обычных пространственных, так и типа бустов) играют НЕЛИНЕЙНЫЕ преобразования, сохраняющие 'ортогональность' координатных сеток.
:
: Полагаю, в Вашем тексте серьезная опечатка. Должно быть: "нет других линейных изометрических преобразований, но есть нелинейные непрерывные изометрические преобразования, аналогичные вращениям в пространствах с квадратичными формами".
Обратите внимание в определении движения векторного пространства (оно же изометрическое преобразование) нет термина "линейное". Линейными они (изометрии) оказываются уже как следствие, после поиска ВСЕХ преобразований, сохраняющих расстояния между точками.
:Очевидно, сохранение ортогональности может накладывать дополнительные ограничения и группа сужается.
Сохранение "ортогональности" (в кавычках потому, что это не квадратичная ортогональность) не сужает, а наоборот, расширяет выделенные преобразования (симметрии). При этом такое сохранение следует понимать не как перевод декартовой ортогональной системы координат в такуюже декартову и ортогональную, а линейная сетка имеет право превратиться в криволинейную, главное, что бы в каждой точке все пересекающиеся координатные линии были "ортогональны" друг другу. Пример - конформные преобразования на комплексной плоскости, которые не обязаны быть изометриями, но координатные сетки с ними связанные, если были ортогональными, то такими и остаются.
:Из вашего текста не ясно, отказываетесь ли Вы совсем от изометрических преобразований в пользу преобразований, сохраняющих ортогональность,
От изометрических преобразований я не отказываюсь - их просто по ФАКТУ мало в пространстве с S(3). Хочу я или нет - это данность. Однако, похоже, такая же данность этого пространство некоторое разнообразие нелинейных симметрий, типа конформных преобразований. Надо проверить...
:или сужаете группу изометрических преобразований дополнительным требованием сохранения ортогональности.
Я не хочу ничего сужать, но не хочу и ИСКУССТВЕННО ничего данному пространству навязывать, равно как и отказываться от ЕСТЕСТВЕННО присущих ему симметрий.
:
: По предыдущему вопросу (об "обогащении алгебры").
: Мне кажется, что "обогащение геометрии" эквивалентно "обогащению алгебры, связанной с геометрией". Операционная информация о геометрии содержится лишь в алгебраических характеристиках геометрии (в частности, группа изометрических преобразований и т.д.). Знание о том, что является точкой или фигурой в геометрии "на самом деле" (т.е. "в физическом смысле"), позволяет накладывать дополнительные связи, которые формулируются в терминах алгебры.
Наверное, по большому счету, Вы правы. Однако так получилось, что под линейной алгеброй обычно понимают конкретный набор операций, да в редких случаях (как, например, с алгеброй комплексных чисел) - теорию функций. Кстати, пример с комплексными числами совершенно не типичен. Дело в том, что в действиях с ними не три, а ЧЕТЫРЕ фундаментальные операции. Комплексное сопряжение - классической ЛИНЕЙНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ операцией не является. Однако на геометрическом языке, сопряжение - вполне обычное КОНФОРМНОЕ преобразование. Я подчеркивал разницу между линейной алгеброй и геометрией примерно в этом смысле. Дело в том, что имея дело с далеко необычными геометриями, мы просто не можем быть уверенными (а я, так даже, уверен в обратном), что в них не содержатся достаточно сложные преобразования, которые могут и должны трактоваться как ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ неалгебраические операции (хотя, в расширенном смысле их, конечно, всегда можно будет называть обобщенно алгебраическими).
:
: Вопрос о выделенности квадратичных форм по сравнению с формами вида "корень n-й степени из суммы n-х степеней" ставится слишком узко. Почему мы вообще должны ограничиваться только такими странными метриками? Для корректной формулировки вопроса нужна еще дополнительная модель, в которой "корни из сумм" сами по себе являются выделенными как класс метрик.
Одна из бед современной финслеровой геометрии вообще, как раз, и проистекает от ее слишком большой широты охвата. Как говорил Козьма Прутков: "Нельзя объять необъятное". Давайте сначала разберемся с самыми простыми представителями финслеровых пространств, а уж потом посмотрим - пора ли переходить к остальным. |
» Альтернативный форум