Поразмышлял немного над замечанием Михалыча («Чисто описательство. "Таковы вкратце экспликации наших интуиций" :)» (Михалыч)):
: 3) S(3;w)=-4tx2-4y2t-4z2t+4t3+8yzx = 4t(t2-x2-y2-z2)+8yzx
:
: Не знаю!
: Хотел бы услышать мнение(я).
Вот что получилось...
Если S(3) принять в качестве метрики - получим четырехмерное линейное финслерово пространство с кубической формой. В связи с тем, что именно Михалыч первым обратил внимание на данную форму в контексте фундаментальной, ее и пространство с ней связанное вполне можно называть имени Чернова:) (если, конечно, не существует более ранних аналогичных предложений). При переходе в специальный изотропный базис e1,e2,e3,e4 («Re: Пространство с метрической функцией S(4)» (Time)) данная форма принимает вид симметрического многочлена:
S(3)=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4.
Интуитивно представляется, что такое пространство имеет свойства, промежуточные между свойствами пространств с метриками S(2) (обычного Минковского) и S(4) (Бервальда-Моора). Используя формулу Шафера (упоминавшуюся в «Re: Необоснованные обвинения также караются :-)-:» (Time) и которую можно увидеть в статье http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=55) из S(3) получается связанная с ней полилинейная симметрическая форма от трех векторов (A,B,C), играющая в данном пространстве роль, аналогичную роли скалярного произведения в квадратичных пространствах:
(A,B,C)=1/6(a1(b2(c3+c4)+b3(c2+c4)+b4(c2+c3))+ a2(b1(c3+c4)+b3(c1+c4)+b4(c1+c2))+ a3(b1(c2+c4)+b2(c1+c4)+b4(c1+c2))+ a4(b1(c2+c3)+b2(c1+c3)+b3(c1+c2))).
Кстати, мало кто обращает внимание, что в обычном пространстве Минковского в изотропном базисе e1,e2,e3,e4 скалярное произведение (A,B) принимает вид:
(A,B)=1/3(a1(b2+b3+b4)+a2(b1+b3+b4)+a3(b1+b2+b4)+a4(b1+b2+b3)),
или, что тоже самое:
(A,B)= 1/3(a1b2+a1b3+a1b4+a2b1+a2b3+a2b4+a3b1+a3b2+a3b4+a4b1+a4b2+a4b3).
Естественно, что большинство народа привыкло видеть в качестве скалярного произведения пространства Минковского форму:
(А,B)=(a1b1+ a2b2+ a3b3+ a4b4),
однако, не трудно заметить, что это одно и тоже, только в последнем случае билинейная форма представлена не в изотропном, а в ортонормированном базисе.
Используя трилинейную форму (A,B,C), можно попытаться определить в пространстве c S(3) аналог свойству ортогональности двух векторов. Одна из возможностей связана с формой:
(A,A,B)+(A,B,B)=0 (однако это требует отдельного исследования).
Поскольку в пространстве с S(3), кроме трансляций нет других непрерывных изометрических преобразований (сомневающиеся, могут проверить), резонно предположить, что роль вращений в нем (как обычных пространственных, так и типа бустов) играют НЕЛИНЕЙНЫЕ преобразования, сохраняющие 'ортогональность' координатных сеток. Во всяком случае, именно такие преобразования данного пространства аналогичны конформным преобразованиям обычных евклидовых и псевдоевклидовых пространств. Конечно, данное предположение так же требует проверки.
Одним из основных геометрических объектов пространства с S(3) является изотропное подпространство, точки которого удовлетворяют уравнению:
4t(t2-x2-y2-z2)+8yzx=0,
или в изотропном базисе:
x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=0.
Представить наглядно такую гиперповерхность довольно сложно, однако, используя семейство сечений трехмерными плоскостями - вполне реально.
Гиперсферой данного пространства является множество, точки которого удалены на фиксированное расстояние (естественно в смысле принятой метрики) от некоторой центральной точки. В частности, сфера радиуса S3 с центром в точке (0,0,0,0) связана с уравнением:
4t(t2-x2-y2-z2)+8yzx=S3.
На основании опыта, полученного при изучении пространства с метрикой S(4) могу предположить, что важную роль в данном пространстве играет гиперповерхность, точки которой равноудалены от ДВУХ фиксированных точек. Для получения соответствующего уравнения достаточно рассмотреть систему двух уравнений, первое из которых описывает семейство концентрических гиперсфер радиуса S3 с центром в точке (Т,0,0,0), а другое - аналогичное семейство, но с центром в точке (-T,0,0,0). Эти уравнения имеют вид:
S3=4(T+t)((T+t)2-x2-y2-z2)+8yzx;
S3=4(T-t)((T-t)2-x2-y2-z2)-8yzx.
Переходя от данной системы к эквивалентной, получающейся путем сложения и вычитания ее уравнений, получаем новые два уравнения:
S3=4T3+4T(3t2-x2-y2-z2);
0=12T2t+4t(t2-x2-y2-z2)+8xyz,
первое из которых соответствует уравнению однополостного гиперболоида обычного псевдоевклидова пространства (данное обстоятельство является дополнительным аргументом в пользу высказывавшегося в самом начале предположения об определенной родственности этого пространства с пространством Минковского), а второе связано с гиперповерхностью, состоящей из точек равноудаленных от точек с координатами (Т,0,0,0) и (-T,0,0,0). Важная роль последнего множества обусловлена тем обстоятельством, что аналогичная поверхность в евклидовых и псевдоевклидовых пространствах представляет собой ГИПЕРПЛОСКОСТЬ ортогональную отрезку, задаваемому двумя фиксированными точками. Надеюсь, убеждать в важности плоскости, как фундаментального геометрического объекта квадратичных пространств, нет необходимости.
В заключение данного относительно краткого комментария к форме S(3) хочу подчеркнуть, что пространства с метриками S(3) и S(4), не смотря на простоту своих фундаментальных метрических форм (симметрические многочлены от четырех переменных), мало исследованы. Данное обстоятельство вызывает удивление, тем более, что пространство с несомненно родственной формой S(2) (также являющейся симметрическим многочленом от четырех переменных) исследовано вдоль и поперек и является геометрической основой значительной части современной физики.
В связи со сказанным можно поставить следующую, логически напрашивающуюся и интересную математическую задачу: 'Принимая все симметрические многочлены от n переменных:
x1+x2+:+xn;
x1x2+x1x3+:+x(n-1)xn;
.....................
x1x2:xn,
как различные метрические функции линейных финслеровых пространств - попробовать найти среди них пространства, обладающие максимальным разнообразием симметрий, естественно, понимая под последними не только изометрии, но и более сложные МЕТРИЧЕСКИ выделенные преобразования'. Возможно, именно на этом пути станет понятна исключительная роль четырехмерия, а так же неквадратичных метрических форм и вопросы, так волновавшие Г.Вейля («Риман, Гельмгольц, Ли и Вейль о квадратичных и неквадратичных формах.» (Time)), будут, хотя бы отчасти, прояснены. |
» Альтернативный форум