Там внизу осталось сообщение «Две "имхи" о геометрии. Первая ИМХА» (Михалыч) , на которое я не удосужился до сих пор ответить, хотя оно было адресовано ко мне (см. «Давайте лучше, Игорь...» (Михалыч))
Бремя модераторства с меня снято, дежурство передано, можно теперь и делом заняться :)
Михалычу мои извинения и за запоздалость ответа, и за допзагрузку во время дежурства.
: Там внизу в ветке об идеализме (очень длинной) споры о геометрии идут. Имя моЕ поминается...
: Извините, что за недостатком времени не буду приводить точные цитаты с которыми не согласен.
Это жалко, ибо возможна потеря взаимоточности.
:
: ИМХО ?1. Об Евклиде и евклидовости.
: Есть
: а) "наивная" евклидова геометрия (НЕГ): "прямая то, что не толстое ..." и пр.
: В качестве МАТЕМАТИЧЕСКОЙ теории принята быть не может.
Гипербола, подчеркивающая наивность, хороша, но при этом вполне осмысленное противопоставлене "прямое-кривое" преподносится в качестве примитивизма и глупости.
Вместе с тем чисто этимологически "прямое" = "некривое", "кривое" = "непрямое" :)
Пока (до математики) это общеупотребимые термины.
Наивный Евклид усыпан такими определениями.
" 1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия же - длина без ширины.
..."
Начала Евклида Книги I-VI , ОГИЗ, М-Л, 1948, стр.11
То что такой "наивный" Евклид в отличие от ненаивного Гильберта не может быть признан математически приемлемым мне кажется странным.
Скажу больше, мне Гильберт кажется более наивным, чем Евклид.
:
: б) Есть аксиоматическая теория, того, что идентифицируется как МАТЕМАТИЧЕСКАЯ теория, называемая ЕГ (далее - АЕГ).
: Ни в каких математических связях (а) и (б) не состоят. (а) является ВНЕМАТЕМАТИЧЕСКОЙ мотивацией для формулировки аксиом (б).
В таком случае требуется расшифровка понятия "ВНЕМАТЕМАТИЧЕСКОЙ мотивации для формулировки аксиом". Понимаю, что тема скользкая, помню, что Вы чесно декларировали, что внематематическая проблематика Вам не интересна, но Вы же делаете утверждение из этой самой области.
Термины перешли из (а) в (б)?
Смысл их кардинально изменился при переходе?
Если нет, полностью удовлетворюсь констатацией. (имхо, не дождусь)
Если да, хотелось бы увидеть обоснование.
Подмывает сразу же развить тему, но дождусь ответа.
:
: В АЕГ (плоской) рассматриваются объекты двух сортов, именуемые в просторечии "точками" и "прямыми" и отношение между ними - "инцидентность" + кое что еще связаное с непрерывностью, например, (хотя и необязательно, зависит от поля, над которым рассматривается геометрия...)
Можем ли мы полностью отойти от просторечивых наименований?
Зачем нам собственно пользоваться заезженными словами, порождая наезды со стороны массового пользователя этих слов в быту?
Например слова "пространство" и "кривизна" народу понятны, а их сочетание "кривое пространство" категорически нет. Антинародное сочетание получается, однако :)
Нельзя ли вводить объекты типов "t", "p", ... и не поминать бытовых терминов в строгой науке математике?
Если нельзя, то почему?
Лично я знаю, что нельзя и знаю почему :)
Хочется услышать и другие мнения.
:
: Естественный вопрос: а не слишком ли мы переусердствовали при формулировке аксиом?
: Может быть эта система противоречива или есть зависимые аксиомы?
:
: Нужно указать ПРИМЕР. Понятно, что НЕГ в качестве примера не годится. Нет в ней математики в современном понимании.
Нет совсем или сколько-то есть?
см. выше
Однако в качестве примера вполне годится некоторая понятная, в частности наглядная, модель, между объектами (элементами) которой и вышеуказанными аксиомами можно установить соответствие. Так или не так?
НЕГ это вполне адекватный, имхо, язык этих самых наглядных пространственных представлений (моделей).
:
:
: Поэтому.
:
: в) Вводится (аксиоматически!) структура векторного пространства (ВП). Не "стрелочек", "пар/троек чисел" и пр.!!
: Это только примеры/интерпретации.
Т.е. примерами/интерпретациями работают?
Каким образом?
Т.е. какое-то соответсвие имеет место? Мера этого соответствия обсуждаема?
И еще вопрос: ввести понятие векторов, не аппелируя к стрелочкам, скоростям, силам, и т.п., можно? Строго, математически без внематематического наивняка всякого?
: В терминах ВП вводятся понятия "размерности", "базиса", "координат относительно ДАННОГО базиса" и пр.
:
: Обратите внимание: в ВП нет ни "точечных" ни "прямолинейных" объектов.
:
: Важно!
: Все ВП одной размерности над одним и тем же полем ИЗОМОРФНЫ, что позволяет, в частности, имея одно ВП использовать для своих надобностей любое ему изоморфное, что и составляет методологическую основу т.н. "координатного метода".
:
:
: Далее.
:
: г) Берется ПРОИЗВОЛЬНОЕ множество, элементы которого НАЗЫВАЮТСЯ "точками"
:
: С помощью специального отображения ВП "наклеивается" на множество и этот бутерброд, или его нижняя часть, (вверху - склизкие векторы, внизу - множество) называется Аффиным пр-вом, ассоциированным с данным векторным.
:
: Это позволяет решать задачи о ПОДМНОЖЕСТВАХ нижнего слоя с помощью алгебры верхнего слоя (уравнений, неравенств итп).
:
: Среди подмножеств выделяются "прямые" в терминах уравнений для верхнего слоя.
т.е. некоторым объектам представленной аккуратно формализованной системы мы присваиваем залапанное нечистыми руками наименование. Это само по себе корректно? Не чревато проблемами? Или есть какая-то необходимость назвать их именно так?
: Теоретико-множественное пересечения сводятся к факту существования решения систем уравнений и т.д.
:
: Необязательной допструктурой на ВП является задание билинейной строго положительно определенной формы (функции двух переменных), именуемой "скалярным произведением" (СП).
: Пространство со СП называется "евклидовым пространством"
аналогично.
:
: Ну, а теперь о главном.
:
: Выясняется (доказывается), что теория уравнений множеств и точек в выбранной (двумерной векторно-аффинной) интерпретации доказывает непротиворечивость АЕГ.
Осталось доказать, что получившаяся АЕГ является ЕГ :)
Ну, т.е. что мы ее просто назвали ЕГ, это я понял. Что основная масса математиков в этом не видит никаких проблем, это мне тоже понятно. Является ли это искомым доказательством? Имею сомнения.
:
: Вообще-то имя Евклида (и производные от него) употребляется в математике часто в различных контекстах.
Согласен.
:
: Смею уверить, что "евклидово кольцо" не имеет никакого отношения к "кольцегранному кушелевизму".
Ну, это не факт. Кольцегранный кушелевизм еще недостаточно формализован, чтобы делать столь категорические суждения. Или неформализованность и есть то основание, которое и необходимо, и достаточно? |
» Альтернативный форум