: Мне хотелось бы услышать замечания к 2-му Закону Ньютона - Животова.
:
: 1. _V* - _Vo = V*b* - Vobo
:
: b* - угол, определяющий направление вектора _V* в системе координат.
: bo - угол, определяющий направление вектора _Vo в системе координат.
: V* - скорость тела по направлению, которое задано углом b*
: Vо - скорость тела по направлению, которое задано углом bо
:
: 2. Так как изменения скорости происходили за время t* - to, то можно записать.
:
: (_V* - _Vo)/(t* - to) =* (_V*b* - _Vobo)/(t* - to)
:
: или
:
: _d*V /d*t =* d*(_Vb)/d*t
:
: Переходя к пределам, имеем
:
: _dV /dt =* d(_Vb)/dt =* bd_V/dt + _Vdb/dt
:
: С учетом массы тела, имеем
:
: m_dV /dt =* mbd_V/dt + m_Vdb/dt
:
: m_dV /dt =* m _a b + m _V w
:
: -m_dV /dt =* _F b + _Fц.б. для случая создания телом сил инерции
:
: m_dV /dt =* _F b + _Fц.с. для случая действия внешней силы
:
: b - угол между направлениями скоростей тела
:
: Соответственно согласно 3-ему закону Ньютона уравнение движения тела имеет вид
:
: m_dV /dt - _F b - _Fц.б. = 0
:
: С уважением То
I С применением алгебры преобразований пространства
Пусть рассматривается двумерное координатное пространство, обозначим в нем i - орт 1 координатной оси, и T(φ) - преобразование поворота пространства на угол +φ относительно системы координат, матрица T(φ) имеет широко известный вид
(cos φ -sin φ)
(sin φ cos φ)
Тогда V = v*T(φ)*i
Не задерживаясь на определении производных, имеем
dV/dt = d(v*T(φ)*i)/dt = dv/dt*T(φ)*i + v*dT(φ)/dt*i
Зная, что dT(φ)=T(φ+π/2)*dφ (проверяется непосредственным вычислением), подставляем
dV/dt = dv/dt*T(φ)*i + v*dφ/dt*T(φ+π/2)*i
Таким образом, ускорение A=dV/dt оказывается разложенным на две составляющие: параллельную скорости (имеющую вид скаляра, умноженного на T(φ)*i - напомним, угол φ задает ориентацию вектора скорости), то есть тангенциальную, и перпендикулярную скорости (имеющую вид скаляра, умноженного на T(φ+π/2)*i), то есть нормальную. Конкретно:
A_t = dv/dt
A_n = v*dφ/dt = v*ω
После этого, домножая все на массу, получаем
F = m*A = m*A_t*T(φ)*i + m*A_n*T(φ+π/2)*i,
то есть и сила раскладывается на две аналогичные составляющие: тангенциальную и нормальную.
Рассмотрим частный случай: движение по окружности. В этом случае v=r*ω, r=const, причем ω может иметь любой знак. V = v*T(φ)*i = r*dφ/dt*T(φ)*i = r*d(φ-π/2)/dt*T(φ-π/2+π/2)*i, и с учетом r=const V = d/dt [r*T(φ-π/2)*i]. Таким образом, направление от центра окружности к текущему положению точки определяется углом φ-π/2. Отсюда нормальные составляющие ускорения и силы направлены противоположно (справедливость при любых знаках проверяется непосредственно), и могут называться центростремительными.
.
.
.
II С применением криволинейной системы координат
Тут все еще проще. Рассматриваем координаты ξ_1 = r = √(x2+y2), ξ_2 = φ = arctg(y/x). Условия двумерности можно не накладывать, просто при i>2 ξ_i = x_i. Все, что в задаче потребуется - это коэффициенты аффинной связности, рассчитываемые по формуле:
Γ^i_jk = ∑ ∂ξ_i/∂x_a ∂2x_a/∂ξ_j ∂ξ_k
а именно:
Γ^r_φφ=-r
Γ^φ_rφ=Γ^φ_φr=1/r
остальные Γ^i_jk=0.
Уравнение движения (Второй закон Ньютона) записывается в следующем виде:
m [d2ξ_i/dt2 + ∑ Γ^i_jk dξ_j/dt dξ_k/dt] = F_i
где F_i = ∑ F_a ∂ξ_i/∂x_a, то есть
m d2r/dt2 = m r (dφ/dt)2 + F_x cos φ + F_y sin φ
m d2φ/dt2 = 1/r [-2m dφ/dt dr/dt - F_x sin φ + F_y cos φ]
Здесь снова видно разложение силы на две составляющих, которые, однако, уже уместнее называть радиальной и дуговой.
И снова можно отдельно рассмотреть случай r=const. Из второго уравнения при этом просто выпадает слагаемое со связностью, а первое превращается в условие на силу
m r (dφ/dt)2 = -F_x cos φ - F_y sin φ = -F r/|r|
откуда видно, что проекция вектора силы на вектор от центра окружности к текущему положению точки всегда должна быть отрицательной (неположительной, если учитывать случай неподвижной точки). Таким образом, сила должна быть направлена внутрь окружности, и ее радиальная составляющая имеет право быть названной центростремительной.
.
.
.
Третий вариант (во вращающейся системе координат) я излагать не буду.
отредактировано 24.11.2007 00:44 |
» Альтернативный форум