: : : Я довольно долго пытался доказать некоторым завсегдатаям форума, что на плоскости двойной переменной не просто существует аналог ТФКП, но у каждой гиперболически аналитической функции двойной переменной должна быть вполне осмысленная физическая интерпретация
: :
: : никогда не слышал Вы не могли бы объяснить что такое плоскость двойной переменной и гиперболически аналитическая функция
:
: Я скажу всего несколько фраз. Более подробно Вы сможете познакомиться с предметом, посмотрев вводную часть книги Лаврентьева и Шабата "Проблемы гидродинамики и их математическ ие модели"
: http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=144
: а также воспользовавшись поисковиком на данном форуме (здесь уже много раз обсуждались данные вопросы).
: Итак, двойные числа это почти полный аналог комплексных чисел, так как также могут представляться в алгебраической форме:
: h=t+jx
: и экспоненциальной (правда, не все)
: h=r*exp(ja),
: где мнимая единица j не эллиптическая, как в комплексных числах, а гиперболическая. То есть, ее квадрат равен не минус, а плюс единице:
: j2=+1.
: Это приводит к тому, что модуль этих чисел, которым как раз и выступает действительное положительное число r, фигурировавшее в экспоненциальной форме представления. Этот модуль имеет связь с компонентами алгебраической формы записи в виде:
: r=SQRT(t2-x2)
: Уже из одного этого обстоятельства следует, что эти числа, вместе со своей коммутативно-ассоциативной алгеброй и функциями тесно связаны с геометрией гиперболической (псевдоевклидовой) плоскости. В частности, каждому двойному числу можно взаимнооднозначным образом поставить в соответствие точку или вектор псевдоевклидовой плоскости, а алгебраическим операциям сложения и умножения - основные преобразования (параллельные переносы и гиперболические вращения с дилатациями). Однако у комплексных чисел, помимо этого добра, есть нечто большее, а именно: теория аналитических функций от комплексной переменной. Со всем своим обрамлением известным как ТФКП и ее физические и геометрические приложения.
: На множестве двойных чисел также можно ввести понятие аналитической функции (причем, минимум, двумя способами). Один из способов рассмотрен у Лаврентьева с Шабатом (поэтому не буду на нем останавливаться) и другой, несколько более узкий, чем у них, но позволяющий говорить о взаимнооднозначном соответствии аналитических функций от обычной комплексной переменной и от двойной.
: Согласно этому способу гиперболически аналитические функции можно определить как упорядоченную пару двух действительных функций от одной переменной каждая, то есть, как следующий объект:
: F(h)=f(x1)e1+f(x2)e2,
: где f - некоторая бесконечнодифференцируемая функция от действительной переменной, x1=t+x, x2=t-x - новые действительные переменные, е1=1+j, e2=1-j - новый базис (из так называемых делителей нуля, а проще говоря из "единичных" векторов светового конуса псевдоевклидовой плоскости.
: С учетом этих уточнений можно все записать и в исходном ортонормированном базисе единичных векторов 1 и j, используя ортонормированные же координаты t и x (совпадение с обычным обозначением времени и расcтояния не случайно):
:
: F(h)=f(t+x)(1+j)+f(t-x)(1-j)=[f(t+x)+f(t-x)]+j[f(t+x)-f(t-x)].
:
: Это уже не скалярная, а именно векторная функция, только не на евклидовой, а на псевдоевклидовой плоскости. Определение Лаврентьева с Шабатом несколько шире, так как допускает конструкцию не из одной единственой, а из двух произвольных дифференцируемых функций от одной действительной пременной каждая, но это они, скорее всего, поторопились. Поторопились потому, что при их "широком" понимании гиперболической аналитичности теряется взаимнооднозначная связь с обычными аналитическими функциями. Плюс на этот счет наверняка можно будет понаписать еще много теорем. Но лично мне достаточно и первого аргумента..
: К моему большому удивлению оказалось, что математики и знать не хочуть ни чего о теории функций двойной переменной. Для них она некий вырожденный случай и таким функциям, мол, в физике ничего, кроме двух плоских волн, бегущих навстречу друг другу по псевдоевклидовой плоскости - ни чего другого и не может соответствовать. Мой пример с логарифмом (если он проходит, конечно) опровергает это пренебрежение не только для одной логарифмической функции, А ДЛЯ ВСЕХ h-аналитических функций, а их не много не мало, а бесконечность. По сути, это означает, что ТФДП (теория функций двойной переменной) - полный (правда зеркальный) аналог ТФКП. В частности, на плоскости двойной переменной должны быть аналоги интегральных теорем и много чего еще, что должно, но пока не доказано. Но это так, мелочи. Главное в другом. Хорошо известно, что расширить ТФКП на гиперкомплексные числа бОльшей, чем два размерности с сохранением евклидовой нормы не возможно. На это даже есть специальные теоремы Фробениуса и Гурвица. А вот в отношении расширения ТФДП (c ее неевклидовой "нормой") ни кто таких ограничивающих теорем не знает. Более того, известно, что существуют тройные, четверные и т.д. гиперкомплексные числа, ни чем не хуже двойных и даже лучше. Поэтому, если нельзя ТФКП расширить в сторону евклида, ее нужно попытаться расширить через ТФДП в сторону псевдоевклида, вернее в сторону специального вида финслеровых пространств имеющих замечательную метрическую функцию имени Бервальда и Моора. Однако сколько я не призывал народ на данном и других форумах глянуть в эту сторону, в конце концов, именно в данном плане конструктивно откликнулся пока только один математик - Михалыч (я имею ввиду именно ТФДП). Ну и еще полтора десятка професионалов, но их ни при каких условиях не удается заманить для форумного общения:). В результате сейчас уже практически построена теория гиперкомплексного потенциала с его физическими приложениями для четырехмерного случая пространства-времени, а вот, казалось бы, тривиальннейший случай двух измернеий - так и остался в аръергарде недоисследованным и недопонятым. Собственно, мой пример с логарифмом - очередная попытка ликвидировать данный пробел..
: Если Вы физик иди математик - велкам..
|
» Альтернативный форум