Все таки, на сколько тесен мир (вернее, как скажет Михалыч: прослойка тонка:))! В эту субботу мне добрые люди дали почитать труды семинара Кагана по векторному и тензорному анализу, опубликованные в 37 и 41 гг. Одна из статей сборника 41 года принадлежит П.К.Рашевскому и называется 'Полиметрическая геометрия'. Что называется не в бровь, а в глаз в тему нашего с пианистом спора о скалярном полипроизведении, тринглах и квадрауглах. А надо сказать, Рашевский - один из немногих математиков, работавших с финслеровой геометрией не 'по Рунду', а естественными методами. В свое время, Григорию Ивановичу Гарасько (о котором я много раз писал здесь и чьи работы считаю весьма перспективными) посчастливилось знакомиться с финслеровыми геометриями именно по Рашевскому, равно как и Г.Ю.Богословский (единственный титулованный российский финслерист) также впервые услышал о существовании фислеровых метрик лично из уст П.К.Р. Оказывается, Рашевский был активным членом вышеназванного семинара и сделал на нем несколько интересных докладов. Что удивительно, идея полиметрической геометрии у него возникла на основании практически той же цепочки рассуждений, что и меня привела к тринглам, квадрауглам и т.п. Не знаю, как там та дама, на диссертацию которой ссылался пианист, а вот Рашевский четко видел естественность продолжения ряда фундаментальных метрических величин: длина, угол и т.д. Вот введение его статьи:
Введение
Идея полиметрической геометрии возникла в связи с работой автора над проблемами метрической двойственности, поставленными проф. В. Ф. Каганом. Как известно, на эллиптической плоскости (и, с некоторыми изъянами, на плоскостях евклидовой и гиперболической) имеет место метрическая двойственность. Геометрия прямых с углами между ними эквивалентна геометрии точек с расстояниями между ними и представляет, таким образом, частный случай римановой геометрии. Проф. В.Ф. Кагану принадлежит ряд исследований, обнаруживающих это последнее свойство и для других семейств (символ бесконечности)2 кривых на плоскости.
Однако, вопрос можно поставить и иначе, задавшись целью обобщенную геометрическую систему, в максимальной степени сохраняющую (конечно, лишь im Kleinen) ту метрическую двойственность, которая типична для эллиптической плоскости. Это значит, что в новой геометрии должны существовать аналоги точек с расстояниями между ними и прямых с углами между ними, с сохранением вполне симметрического и равноправного положения тех и других. Важно отметить, что обычно обобщенные геометрии (например, римонова) строятся на совсем другом принципе: здесь за основной элемент берется только точка и за основную метрику - только расстояния между точками. Обобщение является, таким образом, однобоким, игнорируя прямые, лишь слабая тень которых появляется позже в виде геодезических. Если же перейти в область трех измерений, то дело еще более ухудшается, и мы совсем не имеем ничего аналогичного плоскостям. А между тем в эллиптическом пространстве плоскости играют роль совершенно равноправную с точками.
Итак, нашей задачей (ограничиваясь пока двумерной областью) является воспроизведение в обобщенном виде, с сохранением их равноправного положения, сразу двух метрик эллиптической плоскости: расстояний между точками и углов между прямыми. В связи с этим такую геометрию можно назвать биметрической, в противоположность общеизвестным обобщениям, сохраняющим монометрическую точку зрения.
Что же касается основного элемента обобщенного пространства то, в силу нашей установки, он не может быть аналогом ни точки, ни прямой, а должен занимать нейтральную по отношению к ним позицию. В качестве такого элемента мы берем линейный элемент, т.е. точку с направлением в ней. На эллиптической плоскости линейный элемент равносилен точке плюс проходящая через нее прямая и, следовательно, нейтрален по отношению к той и другой. Обобщенное пространство (биметрическая система), проявляющееся у нас в главе II, является, в связи со сказанным, обобщением эллиптической плоскости, рассматриваемой с точки зрения ее линейных элементов.
Вслед за изучением биметрических систем в общем виде мы, в главе III, переходим с замечательному частному случаю биметрической системы, именно, к двойственной системе. Геометрия на произвольной поверхности, в частности, эллиптическая и гиперболическая, оказываются частным случаем двойственной системы.
В главе IV устанавливается связь наших построений с обобщенными пространствами Картана (Cartan), связными по любой группе, и прежний материал рассматривается с новой точки зрения.
Наконец, в главе V мы впервые выходим в область трех измерений, устанавливая основные понятия триметрической геометрии. Здесь мы сохраняем в обобщенном виде понятия точки, плоскости, расстояний между точками, углов между плоскостями и углов между направлениями (в данной точке и в данной плоскости). В связи с тремя элементами метрики, обобщенное пространство называется у нас триметрической системой.
Основная мысль - множественность самостоятельных элементов метрики в обобщенном пространстве - и выражается заголовком работы в целом. Заметим, что те же построения можно распространить и на случай n измерений, хотя здесь мы касаться этих вопросов не будем.
( Статья написана по материалам нескольких докладов, прочитанных автором на протяжении 1935-36 гг.)
Я попытался внимательно просмотреть ту часть статьи, что посвящена триметрическим системам, но что-то ни где не обнаружил упоминаний о скалярном трехпроизведении или его заменителях. Надеюсь, пианист, вряд ли, сможет обвинить еще и Рашевского в нежелании работать с литературой или, что тот был некомпетентен в геометрических вопросах и занимался ерундой. И где же затерялась та конструкция, что должна приходить в голову 'на берегу' и 'когда еще только знакомишься с предметом'? Или Рашевский на столько был не заинтересован в теме, что, работая над более чем 120 страничной статьей, поленился хотя бы пару строк посвятить обобщению скалярного произведения? Или, может, он не был знаком с аналогичными работами предшественников и, не ведая того, присвоил себе лавры первооткрывателя? Или, еще хуже, знал, но специально не стал никого поминать? Что-то не очень все клеится:
Дабы уменьшить в очередной раз риск оказаться неправильно понятым, снова подчеркну - плевать я хотел на приоритеты в открытии естественного применения скалярных полилинейных метрических форм в качестве обобщения скалярного произведения. Я просто весьма заинтересован увидеть следствия геометрии, более мощной, чем геометрия комплексной плоскости, а заодно познакомиться с обобщениями ТФКП. Ну и еще очень хочется увидеть обобщенные четырехмерные фракталы и построенную на их основе полностью геометризованную физику. Мне ЭТОГО хочется, а не личной известности или признания эфемерных заслуг. |
» Альтернативный форум