: : : : : : : Да, кто ж спорит, но в конечномерном случае - множество открытых подмножеств некоторого множества все равно будет счетным. Про бесконечномерный случай ничего не скажу.
: : : : : :
: : : : : : Как это?
: : : : :
: : : : : Так это, изначально все завертелось вокруг моей фразы: на ЧИСЛОВЫХ множествах наличие дискретной топлогии влечет за собой счетность. Так вот, чтобы множество и до, и после оставалось числовым, Вам-таки придется при введении дискретной топологии "на некотром несчетном множестве" рассматривать именно непересекающиеся открытые множества. Они и будут элементами множества с дискретной топологией.
: : : :
: : : : См. «Внимание! <отредактировано 2 раза>» (Munin)
: : : :
: : : : При введении дискретной топологии открытыми множествами будут _названы_ любые, а не только интервалы.
: : :
: : : Это (итоговое пространство) уже не будет иметь ничего общего с числовыми множествами.
: :
: : Почему? Алгебраические структуры остаются в целости и сохранности, а именно они характеризуют числа, не так ли?
:
: Не так. В чем, по-вашему, заключается разница между: `R^2` и `mathbb C`; между `mathbb R + mathbb R` и `mathbb C`; между `R^4` и `C^2`?
В операциях, разумеется. По операции сложения эти множества действительно изоморфны, но сложение - не единственная операция на свете. В R2 определено умножение на действительный коэффициент, в C - на комплексный. В R4 и C2 общее линейное преобразование есть умножение на действительную матрицу 4x4 и на комплексную матрицу 2x2, соответственно. Надеюсь, вы понимаете, что это не одно и то же, как и понимаете, что все это чисто алгебраические аспекты.
: Все еще не замечаете связи алгебраической структуры и топологии?
Я такой связи никогда не отрицал. Но устроена она не так жестко, как вы считаете. Алгебраическая структура _намекает_ на топологию, подталкивает ввести ее в конкретном "естественном" виде, но отнюдь не фиксирует жестко. Просто потому что алгебраическая структура сама не пользуется этой топологией, и потому не накладывает требований к ней. Можно ввести другую топологию, и свободно ею пользоваться, более того - изучать ее свойства. Достаточно это просто оговорить.
: : : Вы разницу между ЧИСЛОВЫМ множеством и топологическим пространством чувствуете?
: :
: : Я вам все время про нее говорю. R - числовое множество. Числовая прямая - топологическое пространство (и заодно метрическое и пр. и пр.). На R я имею право вводить какую угодно топологию, на числовой прямой она уже существует.
:
: Над `mathbb R`. На `R` никакой иной топологии, кроме _топологии числовой прямой_ Вы ввести не сможете.
А в чем, по-вашему, разница между этими обозначениями?
: Выпишите здесь отличия сигнатуры алгебраической системы и топологии топологического пространства.
Сигнатура алгебраической системы - это сигнатура алгебраической системы, а топология топологического пространства - это топология топологического пространства. Не вижу между ними ничего общего, так что различия состоят из них целиком.
: : : Или будете упорствовать, как уже было однажды: "тензор это геометрический объект..."?
: :
: : Спасибо за напоминание. Насколько я помню, тогда я получил неопровержимые аргументы, принял их и признал свою ошибку.
:
: Тогда мне пришлось повторять это многожды. И собственную ошибку Вы признали ой, как не сразу. А тем не менее аргументы у меня не менялись. Менялось лишь Ваше отношение к ним. Скажем так, под конец, Вы стали читать внимательнее.
Аргументы не менялись? Странное заявление. Голословное утверждение и ссылка на литературу - разные аргументы, так что они у вас менялись, и очень сильно.
: Я Вам не про то, что Вы можете ошибаться напомнил, а про то, как Вы упорствовали.
Хотите сказать, что вы в этот раз намерены упорствовать не меньше?
: : Кстати, в тот раз вы отослали меня к литературе. Я вам тоже приведу ссылочку: Энгелькинг Р., "Общая топология", М., 1986, 752 с. Жду вашего внимания к указанной книге.
: :
: : : : Любых подмножеств у R более чем счетно. Более того, их даже более чем 2^N - их 2^(2^N).
: : :
: : : Если строите некое топологическое пространство НАД `mathbb R`, да. НА `R` никакой иной топлогии Вы не введете.
: :
: : Напоминаю: (X,O) - топологическое пространство, причем X называется пространством, а O - топологией (Энгелькинг 1.1). Вывод: когда я ввожу топологическое пространство над R, я имею право называть R пространством со введенной мной топологией. Разумеется, в случае опасности путаницы я должен указывать контекст, но права такого я не теряю.
: :
: : : Множество с другим порядком (а иная топология это именно другой порядок) будет являться другим множеством. Вы путаете и предлоги, и объекты "на/в множестве" (пишем "на/в `R`") и "над алгебраической структурой" (пишем "над `mathbb R`").
: : :
: : : Над `mathbb R` Вы можете построить такое топологическое пространство, какое Вам только взбредет в голову.
: : :
: : : Ввести на `R` другую тологию (сверх той, что пораждается алгебраически) НЕВОЗМОЖНО. Сконструировать какое-то иное множество из подмножеств `R` - сколько хотите.
: : : :
: : : : :
: : : : : : Берем множество [0,1], для него открытыми будут как минимум любые (a,b) при 0<=a<b<=1. Их мощность континуума, а не счетная.
: : : : :
: : : : : Вы знаете чем отличается дискретный порядок от дискретной топлогии? Запишите эти отличия здесь.
: : : :
: : : : Я не знаю, что такое дискретный порядок. Порядок - это одно (алгебраическое понятие), дискретность - это другое (геометрическое).
: : :
: : : Порядок на произвольном не пустом множестве, при котором `a leq b` верно тогда и только тогда, когда `a=b`, называется дискретным (тривиальным), а сами множества дискретными.
: :
: : Занятное определение. Не укажете ли источник? Если оно подтвердится, это терминологическая путаница, из-за которой вы меня и не понимаете.
:
: Да, я сразу же дал отсылку где посмотреть. Это почти буквальная цитата из уже упоминаемой словарной статьи "Частично упорядоченные множества" из Мат. энциклопедии. Более точную ссылку уже приводил выше.
Мдя. Посмотрел. Цитата _почти_ буквальная. Вместо "дискретные множества" в оригинале написано "дискретные частично упорядоченные множества". Надеюсь, не надо объяснять, что это совсем не то же самое, что "дискретные пространства"?
: : Определение дискретного пространства и дискретной топологии я приводил, и взял его из Энгелькинга п. 1.1.7 (Пример).
: :
: : :
: : : См. _частично упорядоченные множества_.
: : : :
: : : : :
: : : : : P.S.
: : : : : И помните, что речь шла о ЧИСЛОВЫХ множествах с порядком (и топологией), порожденным АЛГЕБРАИЧЕСКИ.
: : : : : Не подменяйте предмет чем-то своим.
: : : :
: : : : Порядок может быть порожден алгебраически, поскольку множества с порядком и операции с порядком - алгебраические конструкции. А вот против топологии, порожденной алгебраически, я протестую: топология - геометрическое понятие, и алгебраически порождена быть не может.
: : :
: : : И тем не менее _теория пространств с дискретной топологией_ ЭКВИВАЛЕНТНА (в СТРОГОМ мат. смысле) _теории частично упорядоченных множеств_.
: :
: : Укажите эту эквивалентность, мне надоело слушать эти заявления без пояснений.
:
: Об этом написано в словарной статье "Дискретная топология" в Мат. энциклопедии. Я там выше приводил ссылку на словарную статью "Дискретная мера", словарная статья "Дискретная топология" рядом.
Я же просил почитать Энгелькинга, ну не зря же я просил, а?
Почитал статью "Дискретная топология" в Энциклопедии. Ее лаконичность (вообще Энциклопедия грешит тем, что полезна тем, кто уже знает предмет) сыграла с вами дурную шутку. Там в десяти строках два определения, различных по содержанию. Одно - общепринятое, я все время к нему отсылаю. Второе - видимо, жаргонное, для специалистов по достаточно экзотическим не-T1-пространствам. Именно второе (про которое я, разумеется, был не в курсе) эквивалентно частично упорядоченному множеству - но никак не первое!
Особенно приятно в этом контексте, как вы упорствовали, не желая давать никаких деталей об этой пресловутой эквивалентности. Стоило бы вам сказать хоть что-нибудь о ней, я бы сразу заподозрил, что речь о каком-то другом определении. Отрадоно видеть, как вы идете навстречу и стремитесь к конструктивному обсуждению и сотрудничеству.
: Специально даю ссылки на самые доступные источники. Читать книжки целиком не требую.
Я тоже не требую читать книжки целиком, я все время ссылаюсь на пару параграфов из начала Энгелькинга (отнюдь не сложных для прочтения, зато гораздо более понятных и иллюстративных, чем лаконичные донельзя формулировки энциклопедии). Энгелькинг в сети общедоступен.
Кстати, я изначально вообще обращался к Эдвардсу, "Функциональный анализ", но Энгелькинг - учебник именно по предмету, и общепризнанный учебник, поэтому сразу переключился на него. Определения совпадают.
: : : : R - числовое множество. Алгебраическое понятие.
: : : : Числовая прямая - уже не множество, а пространство, и использует геометрию (топологию).
: : : :
: : : : Предмета я не подменял.
отредактировано 09.12.2006 16:37 |
» Альтернативный форум