Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.schools.keldysh.ru/school1413/pro_2005/nov/pole_6.html
Дата изменения: Wed Jun 8 11:42:06 2005
Дата индексирования: Sat Dec 22 02:31:56 2007
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: dust disk

поле заряженных плоскости, сферы и шара

Воспользуемся теоремой Гаусса для нахождения напряженностей полей некоторых тел простой формы: плоскости, сферы, шара.

плоскость

Если заряд распределен по поверхности, удобно пользоваться понятием поверхностной плотности заряда. Выделим на плоской поверхности малый участок площадью ΔS; пусть его заряд Δq. Тогда поверхностная плотность заряда равна σ =Δq/ΔS. Если заряд распределен равномерно, то σ =q/S.

поле равномерно заряженной плоскости Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость. Ее электрическое поле однородно, то есть его напряженность одинакова на любом расстоянии от плоскости, линии напряженности параллельны. Выделим цилиндр, перескающий плоскость, образующие которого параллельны силовым линиям (и перпендикулярны плоскости), а основания параллельны плоскости (и перпендикулярны силовым линиям). Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, а через основания одинаков и равен N=2E_nS. Заряд внутри цилиндра равен σS. По теореме Гаусса:

                  σS
2E_nS=4πk—, тогда
                    ε
           |σ|       |σ|                   2π|σ|
Е=2πk— = —— (в СИ) = —— (в СГСЭ).
             ε     2ε₀ε                     ε

сфера

Рассмотрим электрическое поле равномерно заряженной сферы (полого тела, не шара). Поток напряженности через любую замкнутую поверхность внутри сферы равен нуля, так как внутри этой поверхности нет заряда. Отсюда следует, что внутри сферы напряженность равна нулю. Внутри себя равномерно заряженная сфера поля не создает.
E=0 при r<R.

поле равномерно заряженной сферы Из соображений симметрии ясно, что вне сферы линии напряженности направлены по радиусам. Напряженность одинакова (по модулю) на одинаковом расстоянии от центра сферы. Проведем сферическую поверхность радиусом r>R. Поток напряженности через нее равен N=E_nS=4πr²E_n. Пусть ее заряд равен q. По теореме Гаусса:
график E(r) для заряженной сферы
                      q
4πr²E_n=4πk—, тогда
                      ε
          |q|
Е=k—— при r>R.
          εr²

шар

Если заряд распределен в объеме тела, то можно для его описания можно использовать объемную плотность заряда. Выделим в теле малый объем ΔV, пусть его заряд Δq. Тогда объемная плотность заряда равна ρ=Δq/ΔV. Если заряд распределен равномерно, то ρ=q/V.

Рассмотрим электрическое поле равномерно заряженного шара. Напомним, что объем шара равен V=(4/3)πR³. Тогда его заряд q=(4/3)πR³ρ. Напряженность поля вне шара можно найти так же, как и вне сферы:
|q| 4πR³ρ
Е=k——=k——— при r>R.
εr² 3εr²

поле равномерно заряженного шара Для нахождения напряженности внутри шара применим теорему Гаусса для сферической поверхности радиусом r<R. По соображениям симметрии вектор напряженности перпендикулярен ей и одинаков по модулю в любой ее точке. По теореме Гаусса:
график E(r) для заряженного шара
                      q            4πr³ρ
4πr²E_n=4πk—=4πk———, тогда
                      ε                3ε
        4π
E=k—ρr при r<R.
        3ε

Напряженность поля внутри шара линейно растет с увеличением расстояния от его центра. Если мы рассматриваем действие поля шара на заряд, находящийся на расстоянии r от его центра, то шар можно мысленно разделить сферой радиусом r на две части. Действие поля равно действию поля внутренней части, а внешняя поля не создает (внутри себя заряженная сфера поля не создает). Вот еще одно сходство взаимодействия зарядов с законом всемирного тяготения: ускорение свободного падения a=F_т/m внутри сферического однородного тела (например, Земли) также обратно пропорционально расстоянию до центра, как и напряженность E=F_к/q.