Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.schools.keldysh.ru/school1413/pro_2005/nov/pole_6.html
Дата изменения: Wed Jun 8 11:42:06 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 02:31:56 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п |
Воспользуемся теоремой Гаусса для нахождения напряженностей полей некоторых тел простой формы: плоскости, сферы, шара.
Если заряд распределен по поверхности, удобно пользоваться понятием поверхностной плотности заряда. Выделим на плоской поверхности малый участок площадью ΔS; пусть его заряд Δq. Тогда поверхностная плотность заряда равна σ =Δq/ΔS. Если заряд распределен равномерно, то σ =q/S.
Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость. Ее электрическое поле однородно, то
есть его напряженность одинакова на любом расстоянии от плоскости, линии напряженности
параллельны. Выделим цилиндр, перескающий плоскость, образующие которого параллельны силовым
линиям (и перпендикулярны плоскости), а основания параллельны плоскости (и перпендикулярны
силовым линиям). Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, а через основания одинаков
и равен N=2EnS. Заряд внутри цилиндра равен σS. По теореме Гаусса:
σS
2EnS=4πk—, тогда
ε
|σ| |σ|
2π|σ|
Е=2πk— = ——
(в СИ) = —— (в СГСЭ).
ε
2ε0ε
ε
Рассмотрим электрическое поле равномерно заряженной сферы (полого тела, не шара). Поток
напряженности через любую замкнутую поверхность внутри сферы равен нуля, так как внутри этой
поверхности нет заряда. Отсюда следует, что внутри сферы напряженность равна нулю. Внутри себя
равномерно заряженная сфера поля не создает.
E=0 при r<R.
Из соображений симметрии ясно, что вне сферы линии напряженности направлены по радиусам.
Напряженность одинакова (по модулю) на одинаковом расстоянии от центра сферы. Проведем
сферическую поверхность радиусом r>R. Поток напряженности через нее равен
N=EnS=4πr2En. Пусть ее заряд равен q. По теореме Гаусса:
q
4πr2En=4πk—, тогда
ε
|q|
Е=k—— при r>R.
εr2
Если заряд распределен в объеме тела, то можно для его описания можно использовать объемную плотность заряда. Выделим в теле малый объем ΔV, пусть его заряд Δq. Тогда объемная плотность заряда равна ρ=Δq/ΔV. Если заряд распределен равномерно, то ρ=q/V.
Рассмотрим электрическое поле равномерно заряженного шара. Напомним, что объем шара равен
V=(4/3)πR3. Тогда его заряд q=(4/3)πR3ρ. Напряженность поля
вне шара можно найти так же, как и вне сферы:
Напряженность поля внутри шара линейно растет с увеличением расстояния от его центра. Если мы
рассматриваем действие поля шара на заряд, находящийся на расстоянии r от его центра, то шар
можно мысленно разделить сферой радиусом r на две части. Действие поля равно действию поля
внутренней части, а внешняя поля не создает (внутри себя заряженная сфера поля не создает). Вот
еще одно сходство взаимодействия зарядов с законом всемирного тяготения: ускорение свободного
падения a=Fт/m внутри сферического однородного тела (например, Земли) также обратно
пропорционально расстоянию до центра, как и напряженность E=Fк/q.
|q|
4πR3ρ
Е=k——=k——— при r>R.
εr2
3εr2
Для нахождения напряженности внутри шара применим теорему Гаусса для сферической поверхности
радиусом r<R. По соображениям симметрии вектор напряженности перпендикулярен ей и одинаков по
модулю в любой ее точке. По теореме Гаусса:
q
4πr3ρ
4πr2En=4πk—=4πk———, тогда
ε
3ε
4π
E=k—ρr при r<R.
3ε