Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.schools.keldysh.ru/school1413/Web_matem/txt4.htm
Дата изменения: Wed Mar 10 16:50:34 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 01:16:51 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п |
КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И ЕЕ ПЛОЩАДЬ
В математике разработаны методы, позволяющие вычислять площади фигур, границы которых состоят из кривых линий, например частей парабол, синусоид и др. (если, конечно, площади этих фигур существуют). Теперь, используя знания о первообразной функции можно научиться находить площади фигур, называемых криволинейными трапециями. На рисунках штриховкой выделены различные криволинейные трапеции.
Опредпределение.
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции f(х) , прямыми х = а, х = b и отрезком оси абсцисс. Вначале рассмотрим случай f(х) > 0.Пусть x [a;b]. Площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке, есть функция от х. Обозначим ее через S(х). Ниже будет показано, что S'(х) = f(х). Это равенство означает, что переменная площадь S(х) есть первообразная для функции f(x). Поэтому площадь криволинейной трапеции S может быть вычислена при помощи интегрирования. Из рисунка видно, S(а) = 0, так как заштрихованная фигура при х = а превращается в отрезок, S(b) = S есть площадь рассматриваемой криволинейной трапеции.
В случае f(х) < 0 вычисление площади криволинейной трапеции будем заменять вычислением площади трапеции, симметричной данной относительно оси абсцисс. Такая криволинейная трапеция ограничена прямыми x=а, x=b, осью абсцисс, графиком функции у =-f(х), принимающей положительные значения на рассматриваемом промежутке.