ИНТЕГРАЛ И ОБЪЕМНЫЕ ФИГУРЫ

         Понятие интеграла может быть использовано для доказательства формул объемов тел: наклонной призмы, пирамиды, конуса шара и др. На рисунке изображено тело, объем которого необходимо вычислить. Предположим, что данное тело заключено между параллельными плоскостями х = а и х = b. Введен систему координат так, чтобы ось абсцисс была перпендикулрда этим плоскостям. Обозначим через S(х) площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси абсцисс и пересекающей ее в точке х, функция S(х) непрерывна на отрезке [а, b].

         Разделим отрезок [а; b] на n равных отрезков точками

и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси Oх. Эти плоскости разрезают заданное тело на n слоев. На рисунке тангирно выделен один из таких слоев.Тогда
.
Если сечение тела есть круг, то объем заштрихованного слоя равен приближенно объему прямого кругового цилиндра с площадью основания S(х) и высотой Δx;.Если сечение тела - многоугольник, то объем слоя равен приближенно объему соответствующей прямой призмы.Объем данного тела приближенно равен сумме объемов цилиндров или призм с основаниями

и высотой Δx.

Точность этого приближенного равенства тем выше, чем больше n, т.е. тоньше слои. Примем без строгого обоснования, что объем данного тела равен пределу объема

Сумма

является интегральной суммой для непрерывной на отрезке [a;b] функции S(x), следовательно,