О корректности при изучении математики в школе

        Эти замечания прежде всего предназначены для учащихся старших классов изучающих математику в школе. На наш взгляд они до сих пор не потеряли свою актуальность. В устных ответах ученика, в оформлении домашнего задания  нет нет да и встретишь слово или выражение,  которое не должно быть произнесено. Какие же  слова и выражения не должны использоваться на уроках математики?

ћ НЕ ПОДХОДИТ - например, при решении уравнений некоторые учащиеся применяют это выражения для того, чтобы пояснить, что какое-то значение не является решением уравнения. Однако, в математике выражение "не подходит" ничего не означает. В обиходной речи может, например, Олег Данилович не подходить Марии Ивановне! Более того, это выражение не должно произноситься на уроке математике не только учениками но и учителем тоже. 

ћ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ - вряд ли на земле найдется человек, который знает, что может быть, а чего не может быть в нашем сложном мире! Тем более ученик, который только-только приступил к изучению математики. Примеры: 
2>3 - не может быть (не имеет смысла) - Все наоборот! Это выражение может быть, и смысл есть,  только он неверный!
            Правильно: 2>3 существует, но имеет неверный смысл
5>4 существует и имеет верный смысл
7/0 не существует, не имеет смысла, не определено. 

Немного о существовании в математике. По Кантору математическое понятие  существует тогда, когда оно может быть сконструировано и можно непосредственно указать на него с помощью определенной процедуры. Но тогда возникает вопрос: как сконструировать, например, все действительные числа? Или какую-нибудь бесконечную числовую последовательность? И тут мы подходим к интерпретации существования предложенной Пуанкаре и впоследствии Гильбертом. В качестве критерия существования они предложили свободу от противоречия. Предмет или математическое понятие существует, если оно не противоречит постулатам или аксиомам в состав которых оно входит. 

ћ ПОСТОРОННИЙ (ЛИШНИЙ) КОРЕНЬ уравнения - если формально, то это выражение наводит на мысль, что в процессе нашей работы произошло что-то постороннее, лишнее. Кроме того, это выражение не является термином математики. Хотя во многих учебниках имеется это выражение, однако, было бы более корректно, вместо него использовать: данное значение не удовлетворяет исходному уравнению, не является корнем уравнения или посторонний корень для данного уравнения.

ћ ОЧЕВИДНО, САМО СОБОЙ РАЗУМЕЕТСЯ, ЕСТЕСТВЕННО - эти выражения характеризуют больше эмоциональный смысл, чем математический. Ну что может быть, очевидно, для ученика 11 класса, который в принципе только-только приступил к изучению математики?

ћ ДЕЛИТЬ НА НУЛЬ НЕЛЬЗЯ - это что еще за запрет? Кто запретил? Тогда заранее пусть нам скажут, что можно и чего нельзя делать в математике! Правильно говорить: деление на нуль не определено.

ћ - НЕ ИЗВЛЕКАЕТСЯ - правильно говорить: не определен, не существует (в области только действительных чисел).

ћ О.Д.З. - область допустимых значений, какой переменной Х или Y? Неясно! Правильно: D(F) или D(Y), что означает - область определения функции. Дело в том, что в первоначальном понимании (в младших классах) уравнение понималось как равенство, содержащее одну или несколько переменных (неизвестных). При дальнейшем изучении математики уравнения рассматриваются с функциональной точки зрения. Например: уравнение с одним неизвестным есть равенство двух функций F1(x) = F2 (x) , рассматриваемых в их общей области определения. 

ћ Смешивание понятий ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО  и НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Это не так! Пустое множество существует, но не содержит ни одного элемента.
Пример: решить уравнение:

Совет: в процессе решения используйте слова - синонимы:

Существует- имеет смысл- определено
Не существует, не имеет смысла, не определено
Решений нет, пустое множество

ћ Соблюдать осторожность в использовании союзов "И", "ИЛИ" при доказательстве теорем, при различных пояснениях.
Дело в том, что в естественном языке (разговоре) союз "ИЛИ" понимается несколько иначе, чем в математике. В разговоре союз "ИЛИ" понимается как совокупность (перечисление) различных случаев. Например: на столе лежит карандаш или ручка. Имеется в виду, что на столе лежит один из предметов. В математике "ИЛИ" понимается в смысле дизъюнкции, т.е. на столе могут лежать еще и оба предмета. 
Толкование союза "И" в математике и в разговоре одинаково. Оно понимается как одновременность (конъюнкция). Если сказать, что на столе лежит карандаш и ручка, то значит, на столе лежат два предмета.
Вышесказанное знакомо учащимся 10-11 классов из раздела математической логики, с элементами которой они знакомятся на уроках информатики.

Всегда имейте ввиду алгоритм решения уравнений и неравенств.

Приступая к решению того или иного уравнения (неравенства) на уроке в школе, мы должны всегда помнить о том, что решения ищутся в области действительных чисел. Это значит, что возможны следующие три случая:
ћ 1.  При некоторых значениях неизвестной величины наше уравнение будет не определено (не имеет    смысла)
ћ 2.  При других значениях оно будет иметь неверный смысл (неверное числовое равенство или неравенство)
ћ 3.  и, наконец, некоторые значения неизвестной величины будут удовлетворять данному уравнению (неравенству), т.е. оно будет иметь верный смысл.
   Начиная решение уравнения (неравенства), мы находим его область определения (Как было сказано ранее, под областью определения понимается общая область определения всех функций, входящих в данное уравнение (неравенство)  Написав ее, мы исключаем область  1.
  Решением уравнения (неравенства), мы исключаем область  2.
   Написав ответ, мы оставляем область  3.
Автор не считает себя профессиональным математиком, поэтому все замечания отправляйте по адресу:sch128@mtu-net.ru
Иванов Д.     5.09.2000 г.