Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Научный форум | Отправить открытку

Если бы мы всегда подражали в технологии Западу, Гагарин никогда бы не стал первым.

Физика

9 класс

ЗАДАЧА 1

В компьютерной игре все движется в одной плоскости. Меткий стрелок должен поразить двух злодеев одной пулей. Злодеи двигаются с одинаковыми постоянными скоростями V параллельно друг другу, находясь на расстоянии d один от другого, как показано на рис. 1 (соединяющая их прямая перпендикулярна направлению скорости V ). В данный момент стрелок находится на продолжении этой прямой - на расстоянии L от ближайшего злодея. Пуля после вылета летит по прямой со скоростью 3V. Пронзая злодея, пуля не меняет ни направления движения, ни величины своей скорости. В какой момент нужно стрелять и под каким углом к направлению движения злодеев нужно выпустить пулю? На сколько дольше ближнего злодея проживет дальний?

Поразив первого злодея, пуля продолжает лететь вдоль той же прямой. Обозначим время, которое пуля летит от одного злодея до другого, буквой t. Тогда получится прямоугольный треугольник с катетами d и V " t и гипотенузой 3V " t. Отсюда сразу находим и время t, и угол между направлением полета пули и направлением движения злодеев: cos a = 1/3. Элементарные рассуждения показывают, что стрелять нужно как раз в "данный момент".

ЗАДАЧА 2

В показанной на рис. 1 системе трение есть только между большим телом и горизонтальной поверхностью стола. При каких значениях коэффициента трения большое тело может оставаться неподвижным?

Мы разбираем случай, когда большое тело покоится, это сильно упрощает задачу. Когда тела 2М и М едут по телу 5М, на него действуют кроме обычных сил 2Мg со стороны верхнего тела, силы нормальной реакции стола, силы трения со стороны стола еще и силы со стороны нити (они действуют на блок, а блок прикреплен к большому телу). Итак, прижимающая большое тело к столу сила равна 7Mg + T. Сила Т, которая действует на это тело со стороны нити по горизонтали уравновешивается силой трения, если коэффициент трения такой, что еще немного - и большое тело поедет. В этом случае получается

(7Mg + T ) " k = T.

Сила натяжения Т находится совсем просто:

Отсюда находим необходимый коэффициент трения: k = 2/23. Это минимальное значение, нас устраивает любое бoльшее.

ЗАДАЧА 3

Две одинаковые бусинки могут двигаться без трения по гладкому горизонтальному стержню. Они связаны друг с другом куском легкой и нерастяжимой нити длины L, к середине которой привязана третья такая же бусинка. Первоначально бусинки на стержне удерживают, куски нити при этом составляют друг с другом угол 60?. Бусинки одновременно отпускают. Найдите ускорение бусинок сразу после этого. Найдите скорости бусинок на стержне перед ударом друг о друга.

Бусинки по стержню могут двигаться только в горизонтальном направлении, третья бусинка движется строго по вертикали. Нить нерастяжима, поэтому проекции скоростей бусинок на направление нити должны быть одинаковы. Выберем очень малый интервал времени Dt после начала движения - начальные скорости равны нулю, ускорения за такой малый интервал можно считать неизменными. Обозначим ускорения бусинок на стержне a, ускорение третьей бусинки b. Тогда скорости бусинок составят а " Dt и b " Dt; приравнивая их проекции на направление нити, получим соотношение между ускорениями: Обозначим натяжение нити Т, тогда "силовые" уравнения для бусинок:

Ma = T cos 60?,

Mb = Mg - 2T cos 30?.

Отсюда легко получить

Для нахождения скоростей бусинок перед столкновением заметим, что скорость "свисающей" бусинки перед этим практически обращается в нуль (те же проекции на направление нити). Тогда можно записать уравнение для потенциальной и кинетической энергии (длина куска нити между бусинками составляет L /2):

Отсюда

ЗАДАЧА 4

В тонкостенный стакан налили 200 г воды и при помощи опущенного в воду нагревателя постоянной мощности 50 Вт стараются вскипятить воду. Ничего не получается - вода никак не нагревается выше 60?С. Выключим нагреватель и накроем стакан листком бумаги - вода при этом остынет от 60 до 59?С за 20 секунд. Если бы не накрывали стакан листком бумаги, а вместо этого поставили его на теплоизолирующую пробковую подставку, то вода в стакане остыла бы от 60 до 59?С за 30 секунд. Повторим теперь нагревание, но стакан установим на подставку и накроем его листком бумаги. Сколько времени займет в этом случае нагрев воды от 59 до 60?С?

Из условия задачи ясно, что при температуре + 60?С потери тепла в окружающее пространство достигают 50 Вт. Основные причины "ухода" тепла - испарение, теплопередача через дно стакана и боковую поверхность. При помощи листка бумаги мы снижаем потери на испарение, а пробковая подставка убирает теплопередачу через дно стакана. Остывая на 1 градус, наша порция воды отдает 4200 i i 0,2 " 1 = 840 Дж. Остывая за 20 секунд, стакан отдавал в окружающую среду 840/20 = 42 Вт, значит, потери на испарение составляют 8 Вт. При остывании с подставкой за 30 секунд стакан отдавал мощность 28 Вт, значит, потери тепла через дно подставка уменьшает на 22 Вт. Оба приспособления вместе снизят отдаваемую мощность на 30 Вт, тогда эти 30 Вт из 50 Вт будут идти на нагревание воды. На градус при этих условиях вода нагреется за 840/30 = = 28 с. При решении задачи мы считали, что мощность потерь в диапазоне 59-60?С практически постоянна.

ЗАДАЧА 5

Два одинаковых вольтметра соединены последовательно и подключены к батарейке. Параллельно одному из вольтметров подключен резистор, при этом показания вольтметров составляют 1,4 и 3,1 В. Отключим теперь один из вольтметров. Что будет показывать оставшийся прибор? Напряжение батарейки можно считать неизменным.

Если отключить верхний вольтметр - показания нижнего упадут до нуля.

Рассмотрим теперь второй случай. Нам нужно найти отношение сопротивлений резистора и вольтметра (из условия ясно, что вольтметры вовсе не идеальные). Это легко сделать так: в исходной схеме один из вольтметров показывает 3,1 В, а другой - только 1,4 В. Это значит, что ток через верхний вольтметр больше тока нижнего в 3,1/1,4 раз. Разностный ток течет через резистор, легко видеть, что отношение этого тока к току параллельно включенного вольтметра составит (3,1 - 1,4)/1,4 = 17/14. Ясно, что это отношение определяется обратным отношением сопротивлений и сопротивление вольтметра больше, чем у резистора в 17/14 раз. Напряжение батарейки (3,1 + 1,4) = 4,5 В можно считать неизменным - нагрузки высокоомные и влияние внутреннего сопротивления несущественно. Тогда напряжение вольтметра в оставшейся последовательной схеме составит

ЗАДАЧА 1

По прямому горизонтальному стержню может скользить без трения бусинка массы M. К бусинке привязана легкая нерастяжимая нить длины L, эту нить мы тянем за свободный конец. Скорость этого конца все время направлена вдоль нити и составляет по величине V0 . С какой силой нужно тянуть в тот момент, когда нить направлена под углом a к стержню? Нить все время находится в горизонтальной плоскости.

Если бы скорость свободного конца нити была постоянной (а это не так - вектор скорости все время поворачивается), то можно было бы "пересесть" в систему отсчета, которая связана с этим концом, - в такой системе бусинка движется по окружности и можно легко записать необходимые уравнения. В данном случае система получилась бы неинерциальной и никакого упрощения мы не получили бы. Будем действовать так: нить нерастяжима, это позволит связать скорости концов нити при заданном значении угла a, дальше зададим очень малый интервал времени Dt, найдем новое положение бусинки и новое значение угла - после этого выразим новую скорость и найдем ее приращение за выбранный интервал Dt. Таким образом, мы вычислим ускорение бусинки, после этого силу уже будет совсем просто найти. Итак, для угла a скорость бусинки u:

u cos a = V0 .

Через малый интервал Dt конец нити сместится на V0 " Dt (рис. 2), бусинка проедет u " Dt и теперь можно записать новое равенство:

(u + Du) cos (a + Da) = V0 .

Раскрывая скобки и пользуясь известным выражением косинуса суммы углов, а также заменяя косинус малого угла на 1, а синус на значение угла, получим

Du cos a = u sin a " Da.

Величину приращения угла можно найти из геометрических соображений, например используя теорему синусов:

Заменяя синус малого угла Da значением самого угла, получим

После простых преобразований получим

Дальше уже совсем просто - уравнение второго закона Ньютона для бусинки:

Отсюда

ЗАДАЧА 2

В показанной на рис. 1 системе трение есть между большим телом и горизонтальной поверхностью стола, а также между большим телом и верхним грузом. Обозначим коэффициент трения "наверху" k1 , а коэффициент трения "внизу" k2 . При каких значениях коэффициентов трения большое тело может оставаться неподвижным?

Если коэффициент трения "наверху" достаточно велик, чтобы при неподвижном теле 3М грузы 2М и М не двигались, то при любом значении коэффициента трения "внизу" большое тело проскальзывать не будет. Для этого нужно, чтобы 2Mgk1 $ $ Mg, k1 $ 0,5. В этом случае при любом коэффициенте трения "внизу" большое тело будет оставаться неподвижным.

Рассмотрим теперь случай, при котором грузы М и 2М могут двигаться, а большое тело 3М остается неподвижным (см. рис. 2, на котором показаны силы, действующие на большое тело). В этом случае силу натяжения нити легко найти: T = 2Mg(1 + + k1)/3. Тогда для большого тела по горизонтали при минимальном значении коэффициента трения k2 :

2Mgk1 - T = (5Mg + T )k2 .

После простых преобразований получим

ЗАДАЧА 3

Вертикальный цилиндрический сосуд содержит две порции гелия, отделенные друг от друга и от окружающего пространства двумя одинаковыми массивными поршнями массы M каждый. Вначале объемы порций одинаковы и расстояние между поршнями составляет H. Нижнюю порцию газа медленно нагревают. Какое количество тепла нужно сообщить гелию в нижней части сосуда, чтобы увеличить его объем в два раза? Каким станет расстояние между поршнями через большой интервал времени, когда температуры порций газа снова сравняются? Теплоемкостью стенок и поршней пренебречь. Снаружи воздух откачан, теплоотдача в окружающее пространство пренебрежимо мала. Теплопроводность поршня, разделяющего порции газа, достаточно мала - за время нагрева тепло в верхнюю полость практически не поступает.

По условию задачи поршни массивные, мы будем пренебрегать массой газа по сравнению с массой поршня (все равно масса газа в условии задачи не задана). При нагревании нижняя порция газа расширяется при неизменном давлении P = 2Mg / S. Начальные температуры порций газа одинаковы, давление внизу вдвое больше - тогда получается, что в нижней части сосуда количество газа вдвое больше, чем в верхней. Количество тепла

Q = n " Cp " (T2 - T1)= n " 2,5R " (T2 - T1) =

= 2,5P(2V - V ) = 2,5 " SH = 5MgH.

После выравнивания температур объемы порций газа снова сравняются. Для нахождения нового расстояния h между поршнями воспользуемся законом сохранения энергии. По условию задачи система теплоизолирована, тогда ее полная энергия должна оставаться неизменной. После нагревания нижней порции газа суммарная потенциальная энергия поршней

Mg " 2H + Mg " 3H = 5MgH.

Полная энергия при этом

W = 5MgH + 1,5nRT + 1,5 " 2nR " 2T =

= 5MgH + 1,5MgH +1,5 " 4MgH = 12,5MgH.

После выравнивания температур полная энергия

Mgh +2Mgh +1,5 " 3nRT1 = 7,5Mgh =

= W = 12,5MgH.

Тогда

ЗАДАЧА 4

Плоский конденсатор емкости C составлен из двух больших проводящих пластин, каждая из которых сделана двухслойной - из соединенных друг с другом листов тонкой фольги. Пластины несут одноименные заряды Q и 2Q. Наружный слой фольги пластины с большим зарядом аккуратно отсоединяют, относят в сторону параллельно другим пластинам и переносят на другое место - третьим слоем, снаружи, к пластине с зарядом Q. При этом не допускают электрического контакта с этой пластиной - оставляют очень узкий зазор. Какую работу необходимо при этом совершить? Все действия мы производим издали, стараясь не влиять на распределение зарядов пластин.

Поле снаружи от конденсатора при таком выборе зарядов пластин не нулевое (как в случае равенства нулю полного заряда пластин конденсатора), однако при любой перестановке пластин меняется только поле внутри, а наружное поле не изменяется. На наружных сторонах двух обкладок конденсатора собираются одинаковые по знаку и величине заряды - каждый из них равен половине полного заряда конденсатора (у "правильно" заряженного конденсатора эта полусумма равна нулю!) - в нашем случае это 1,5Q. На внутренних сторонах обкладок получаем заряды Q /2 и - Q /2, поле внутри определяется именно последними зарядами - поля наружных зарядов в этой области скомпенсированы. Энергию поля, сосредоточенного между пластинами, можно вычислить по обычной формуле:

После "отсоединения" наружной части обкладки 2Q заряды внешней пластины на ней остались и мы их перенесли на другую сторону. Теперь заряды пластин получившегося конденсатора 2,5Q и 0,5Q. Поле между обкладками изменило направление (для расчета энергии это неважно) и увеличилось в 2 раза - энергия поля, сосредоточенного между пластинами, возросла в четыре раза и составляет теперь Q2 / 2C. Поле снаружи не изменилось, следовательно, наша работа пошла на увеличение энергии поля между обкладками. Тогда необходимая для переноса работа

ЗАДАЧА 5

На рис. 1 приведена часть электрической цепи, содержащей множество батареек, резисторов, лампочек, а может быть, и микропроцессоров. Вольтметры применены одинаковые, то же самое можно сказать про амперметры. Часть показаний приборов приведена на рис 1. Считая эти значения точными, найдите показания остальных приборов.

При напряжении 7 В ток через вольтметр составляет 10 мА - не очень-то идеальный вольтметр. При напряжении 0,6 В ток вольтметра меньше - он составляет 10 " 0,6/7 = 6/7 мА. Ток амперметра, соединенного параллельно с точно таким же, равен 3 мА. Полный ток через группу из двух амперметров и вольтметра равен 3 + 3 + 6/7 = 48/7 мА. Тогда возможны два случая (рис. 2):

- этот ток вычитается из тока 10 мА, при этом через "неизвестный" вольтметр течет ток 10 - 48/7 = = 22/7 мА, а при таком токе этот вольтметр показывает 7 " (22/7)/10 = 2,2 В;

- этот ток складывается с током 10 мА (вычитается или, наоборот, все зависит от внешней части схемы, не показанной на рисунке), при этом ток через вольтметр составит 10 + 48/7 = 118/7 мА и показания вольтметра 7 " (118/7)/10 = 11,8 В.

ЗАДАЧА 1

На гладком горизонтальном столе находятся два одинаковых груза массы M каждый, связанные легкой пружиной. Несколько раз проводят один и тот же опыт - ударом придают одному из грузов скорость V0 вдоль прямой, соединяющей грузы, и измеряют максимальное растяжение пружинки. В последнем опыте пружинка лопнула сразу при растяжении, равном половине измеренного в предыдущих опытах максимального значения. С какими скоростями будут дальше двигаться грузы по столу?

Найдем максимальное значение энергии деформации пружинки - в тех опытах, в которых она не рвалась. Ясно, что максимальная энергия соответствует случаю равенства скоростей грузов - из закона сохранения импульса следует, что скорости грузов равны при этом V0 /2. Тогда из закона сохранения энергии получим

Если деформация пружинки вдвое меньше максимальной, значит, ее энергия в этом состоянии составляет четверть максимальной величины. Тогда для этого момента можно записать уравнения импульса-энергии:

Решая эту систему, получим

Тут первый груз - это тот, которому придали начальную скорость: в условии сказано, что пружинка лопнула сразу по достижении половинной деформации, а к этому времени скорости еще не сравнялись.

ЗАДАЧА 2

Вертикальный цилиндрический сосуд содержит две порции газа, отделенные друг от друга и от окружающего пространства двумя одинаковыми массивными поршнями массы M каждый. В верхней части сосуда находится кислород, в нижней - гелий. Вначале объемы порций одинаковы и расстояние между поршнями составляет H. Нижнюю порцию газа медленно нагревают. Какое количество тепла нужно сообщить гелию в нижней части сосуда, чтобы увеличить его объем в два раза? Каким станет расстояние между поршнями через большой интервал времени, когда температуры порций газа снова сравняются? Теплоемкостью стенок и поршней пренебречь. Снаружи воздух откачан, теплоотдача в окружающее пространство пренебрежимо мала. Теплопроводность поршня, разделяющего порции газа, достаточно мала - за время нагрева тепло в верхнюю полость практически не поступает.

По условию задачи поршни массивные, мы будем пренебрегать массой газа по сравнению с массой поршня (все равно, масса газа в условии задачи не задана_). При нагревании нижняя порция газа расширяется при неизменном давлении P = 2Mg / S. Начальные температуры порций газа одинаковы, давление внизу вдвое больше - тогда получается, что в нижней части сосуда количество газа вдвое больше, чем в верхней. Количество тепла

Q = n " Cp " (T2 - T1) = n " 2,5R " (T2 - T1) =

= 2,5P(2V - V ) = 2,5 " SH = 5MgH.

После выравнивания температур объемы порций газа снова сравняются. Для нахождения нового расстояния h между поршнями воспользуемся законом сохранения энергии. По условию задачи система теплоизолирована, тогда ее полная энергия должна оставаться неизменной. После нагревания нижней порции газа суммарная потенциальная энергия поршней

Mg " 2H + Mg " 3H = 5MgH.

Полная энергия при этом

W = 5MgH + 2,5nRT + 1,5 " 2nR " 2T =

= 5MgH + 2,5MgH + 1,5 " 4MgH = 13,5MgH

(мы учли, что кислород - двухатомный газ).

После выравнивания температур полная энергия

Mgh +2Mgh +2,5 " nRT1 + 1,5 " 2nRT1 =

= 8,5Mgh = W = 13,5MgH.

Тогда

ЗАДАЧА 3

В приведенной на рис. 1 схеме применены одинаковые вольтметры. Сопротивления двух резисторов одинаковы и равны R, двух других - по 3R. Показания приборов составляют 2 мА, 3 В и 0,5 В. Найдите по этим данным величину R.

Легко понять, что показания вольтметра, который включен в диагональ мостика, должны быть меньше - через него течет только часть полного тока. Ясно, что эта часть составляет ровно 0,5/3 = 1/6 от полного тока. Мостик не должен быть уравновешен - иначе вольтметр в диагонали показал бы нуль. Тогда можно решить задачу устно - сумма токов через резисторы R и 3R равна полному току 2 мА. Разность таких же токов равна одной шестой этого значения, то есть 1/3 мА. Токи эти равны соответственно 7/6 и 5/6 мА. Напряжение на резисторе 3R равно произведению меньшего тока на это сопротивление, то есть составляет 15R /6, напряжение на меньшем из резисторов составляет 7R /6. Разность этих напряжений равна 0,5 В, тогда 8R /6 = = 0,5. Отсюда

R = 3/8 = 0,375 кОм = 375 Ом.

При решении мы использовали соображения симметрии - в этой схеме токи через одинаковые резисторы равны между собой.

ЗАДАЧА 4

Резистор 100 Ом подключен к сети переменного напряжения 220 В, 50 Гц последовательно с диодом (идеальный диод имеет нулевое сопротивление при пропускании через него тока одной полярности и бесконечное сопротивление при попытке пропустить ток другой полярности.) Найдите среднюю мощность, выделяющуюся в резисторе в виде тепла. Во сколько раз изменится эта мощность при подключении параллельно резистору конденсатора емкости 1 мкФ? А при подключении конденсатора емкости 1000 мкФ?

Легко подсчитать мощность при подключении без конденсаторов: диод убирает половину каждого периода, уменьшая мощность вдвое, тогда

= 242 Вт

(220 В - это эффективное значение напряжения).

Если параллельно резистору включить конденсатор очень большой емкости, то напряжение на резисторе перестанет быть переменным - оно постоянно будет равно амплитудному значению напряжения сети и мощность возрастет ровно вчетверо (понятно, что конденсатор не дает лишней энергии - он просто помогает резистору эффективнее грабить источник).

При очень малой емкости конденсатора мощность останется практически такой же, как и без него.

Еще нужно понять, что же такое очень большая и очень маленькая величина емкости, что с чем тут нужно сравнивать. Проще всего сравнить период сетевого напряжения (при частоте 50 Гц он составляет 0,02 с) и "характерное" время для цепи конденсатор-резистор (оно определяется произведением RC и для конденсатора емкости 1 мкФ составляет 0,0001 с, а для конденсатора 1000 мкФ получится 0,1 с).

Все это очень мило и грамотно, но это все же не решение нашей задачи - полное решение должно включать разумную числовую оценку изменения мощности при подключении каждого конденсатора. Для конденсатора 1 мкФ нужно разобраться, в какой момент диод запирается и конденсатор начинает снабжать накопленной энергией резистор. Если диод заперт, а напряжение конденсатора V, то ток I = V / R (пока напряжение конденсатора не успело заметно упасть), при этом скорость уменьшения напряжения конденсатора со временем

Если напряжение сети в этот момент спадает "круче", то диод остается закрытым: чем дальше, тем круче спадает напряжение сети (пока не достигнет нуля), а конденсатор, наоборот, разряжается все медленнее. В противном случае диод снова "откроется" и конденсатор будет подключен к источнику, придется ждать уменьшения напряжения. Возьмем производную по времени от переменного напряжения сети (нам нужен спадающий участок) и приравняем полученному выше выражению для конденсатора (это тоже спадающая функция, производная ее отрицательна!). Пусть напряжение в сети меняется по закону V(t) = V0 cos wt, тогда получим

Для частоты 50 Гц имеем w = 314 с-1. Получается, что диод запирается при напряжении U1 примерно 9,8 В и накопленную энергию при запирании диода конденсатор 50 раз в секунду будет отдавать резистору, создавая добавочную мощность

Вт.

Но по сравнению со схемой без конденсатора мы несколько завысили оценку добавочной мощности - при запертом диоде в резистор не поступает мощность от сети, которая меньше мощности, отдаваемой конденсатором, но все же не равна нулю. Учет этой мощности снижает добавку еще примерно в три раза. Для конденсатора большой емкости тоже нужно уточнить расчет - ведь напряжение его не остается равным амплитуде сети, а медленно спадает. Приблизительный учет этого уменьшения можно провести считая ток разряда приблизительно постоянным - аккуратный расчет показывает, что при подключении конденсатора 1000 мкФ мощность возрастает не в 4 раза, а примерно в 3,5. В общем кроме разговоров о том, что какая-то величина очень-очень мала, должна быть и разумная оценка этой величины, пусть и грубая.

ЗАДАЧА 5

Плоско-выпуклая линза сделана из стекла с коэффициентом преломления n = 1,5 и имеет диаметр D = 5 см. Радиус выпуклой сферической поверхности R = 5 см. На плоскую поверхность линзы вдоль ее главной оптической оси падает широкий параллельный пучок лучей. Определите размер светлого пятна на экране, расположенном за линзой перпендикулярно падающему пучку. Положение экрана было выбрано по минимальному размеру светлого пятна при узком (ограниченном диафрагмой) пучке лучей вдоль главной оптической оси.

Линза в условии задачи расположена самым простым для расчета способом: параллельный пучок падает вначале перпендикулярно на плоскую поверхность линзы и не преломляется, считать преломление приходится только на сферической границе раздела стекло-воздух. Найдем толщину линзы d (в самом толстом месте):

R 2 = + (R - d )2,

R - d = 4,33 см,

d = 0,67 см.

Толщина линзы для нас важна потому, что расстояния придется отсчитывать от разных точек поверхности линзы. Для тонкого (диафрагмированного) пучка, параллельного главной оптической оси линзы, изображение получится в фокусе, на расстоянии

см.

Рассмотрим самый удаленный от главной оптической оси луч - для него угол падения, измеренный относительно радиуса, проведенного в точку преломления на сферической поверхности, равен 30?, так как sin a = (D /2)/ R = 0,5. Угол преломления находим по значению синуса 0,75: b = 48,6?. После простых расчетов находим точку главной оптической оси, через которую этот луч пройдет: tg(b - a) = = (D /2)/ L. Эта величина измеряется относительно плоской поверхности линзы, после учета толщины получим, что крайние лучи пучка после преломления пересекаются на расстоянии 3,24 см от экрана, что дает диаметр светлого пятна примерно 2,2 см. Интересно исследовать вопрос: а не найдутся ли лучи, которые дают бoльший диаметр пучка, чем полученный нами для крайних лучей?

Материалы подготовил А.Р. Зильберман