Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9808_121.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Sun Jun 3 12:10:09 2001 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Tue May 27 13:38:00 2008 Êîäèðîâêà: Windows-1251 Ïîèñêîâûå ñëîâà: ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

NUMBER SYSTEMS
V. V. SIL'VESTROV The paper deals with procedures and principles of constructing of number systems generalizing real numbers. The examples are: complex, double and dual numbers, quaternions, octaves, Pauli's numbers. The matrix representation of certain numbers is considered. êÒÒÍÁœ,ÂÚÒfl Ó ÒÔÓÒÓži Ë Ô ËÌ^ËÔi ÔÓÒÚÓÂÌËfl ÒËÒÚÂÏ ~ËÒÂÎ, ÓžÓžËi ÂÈÒÚ,ËÚÂÎå̜ ~ËÒÎ. è Ë,ÓflÚÒfl Ô ËÏ œ: ÍÓÏÔÎÂÍÒÌœÂ, ,ÓÈÌœÂ Ë ÛÎå̜ ~ËÒÎ, Í,Ú ÌËÓÌœ, ÓÍÚ,œ, ~ËÒÎ èÛÎË. êÒÒÏÚ Ë,ÂÚÒfl ÏÚ Ë~Ìfl ÙÓ Ï Ô ÂÒÚ,ÎÂÌËfl ÌÂÍÓÚÓ œi ~ËÒÂÎ.


Ç. Ç. ëàãúÇÖëíêéÇ
óÛ,?ÒÍËÈ ,,ÓÒÛ ÒÚ,ÂÌÌœÈ ÛÌË, ÒËÚÂÚ ËÏ. à.ç. ìÎåflÌÓ,, óžÓÍÒ œ

ÇÇÖÑÖçàÖ

, , x2 + 1 = 0, XVI , XVIII - , , , . , : , , , . : "" "". , , . , , , , . , , , , . , . , . . , n , n - .
èêéñÖÑìêÄ ìÑÇéÖçàü ÉêÄëëåÄçÄ-äãàîîéêÑÄ

¿ ëËÎå,ÂÒÚ Ó, Ç.Ç., 1998

1-È ?,,. äÓÏÔÎÂÍÒÌœÂ, ,ÓÈÌœÂ Ë ÛÎå̜ ~ËÒÎ

a, b - . z = a + bi, (1) i - (), , bi = ib b R, i 2 = -1, i 2 = 1, i 2 = 0, i 2 = , (2)

ëàãúÇÖëíêéÇ Ç.Ç. ëàëíÖåõ óàëÖã

121


-1, 1, 0. a, b z, i - . , - : R a (1), - b. (1) i2 = -1 , i2 = 1 - , i2 = 0 - . C. , (2). , , (a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i, (a + bi)(c + di) = ac + bd + (ad + bc)i, (a + bi)(c + di) = ac + (ad + bc)i . , , z1 , z2 , z3 z1z2 = z2z1 (z1z2)z3 = z1(z2z3). z = a - b i z, z = a + b - z. z 1 z 2 = z 1 z 2 zz = a2 - b2 . , , || z || 2 | z |. zz = z ( 2 zz = z ) || z1z2 || = || z1 || || z2 ||. , , . , z = z1 = 1 + i z2 = 1 - i. . (1) z1z = z2 , (3) z - , z1 0, z2 - . z 1 , z1 z1 z = z1 z2 , (4)
2 2

, , z 1 z 1 0. , z1 = a + ai, a R, z1 = ai, a R, z 1 z 1 = 0. (4) 0 z = z 1 z 2 , , , (3) z1 , z2 . , , a + ai ai, a R, . , z1 0, z2 0 z1z2 = 0. . , z1z2 = 0 z1 = 0 z2 = 0. z1z2 = 0 z1 = a + ai, z2 = = a - ai, a R. a 0 . ai, a R \ {0}, ai bi = abi2 = 0 a, b. (1) , , , . . : , , , , .. [1]. [2].
2-È ?,, Ô Ó^ÂÛ œ É ÒÒÏÌ-äÎËÙÙÓ

z1 , z2 - (1) i, (2), j - (), j 2 = , (5) -1, 1, 0, , i (ji = - ij), (ji = ij), (ji = 0), ji = ij, (6) -1, 1, 0. u = z1 + z2 j. (7)

z 1 z 1 - . z1 0 - 2 0. , , z 1 z 1 = z 1 C (3) z1 0, z2 1 z = -------- z 1 z 2 , 2 z1 z1 z2 . () , , . , C - . z1 - , z1 0, -

z1 = a + bi, z2 = c + di, u = a + bi + ci + + dij. ij . ij = k. u = a + bi + cj + dk. (8)

122

ëéêéëéÇëäàâ éÅêÄáéÇÄíÖãúçõâ ÜìêçÄã, <8, 1998


u i, j, k , i, j . i, j, k , (2), (5), (6). . 1. , , , . ,
1 i i j k k j j k i k j i

, . H.
2 i i j k -1 -k j j k -1 -i k -j i -1

u = a + bi + cj + dk uu = uu = u , u1 u
2 2 2 2

u1 u2 = u2 u1 ,

= u1 u2 ,
2 2

(9)

u = a - b i - cj - dk - , = 1 i, j, k , 1 ij, ik, jk . , = 1 (6) , = -1 = 0 , u1 , u2 , u1u2 u2u1 . . 1 , = 1 = -1 i, j, k , (ii)j = i(ij), (ij)k = i(jk) .., = 0 , , . , (ji)k = k k = 2, j(ik) = j j = j 2 = , (ji)k j(ik) = 0 0, 0. , = 1 = -1 (8) , = 0. 1. . 1, (8), : 1) = = -1, = 1; 2) = -1, = = = 1; 3) = -1, = = 0. , || u1u2 || = || u1 || || u2 || u = a + b + c + d , , . , u1u = = u2 , uu1 = u2 , u1 0, . 2. (7), z1 , z2 , z1 - , z2 - . . (2), (5), (6) .
ä,Ú ÌËÓÌœ
2 2 2 2

u, u = a + b + c + d - u. , u = z1 + z2 j, z1 = a + bi, z2 = c + di - , u = z 1 - z 2 j z j = j z, z z = z ,
2

uu = ( z 1 + z 2 j ) ( z 1 - z 2 j ) = z 1 z 1 - z 2 j z 2 j - z 1 z 2 j + z 2 j z 1 = = z1 z1 - z2 z2 j - z1 z2 j + z2 z1 j = =z
2 1 2 2 2 2 2 2 2 2

+z

=a +b +c +d = u .

. (9) u1u = u2 , u1 = u2 , (10) u, - , u1 0, u2 - . u 1 , u 1 u = u 1 u 2 , u 1 = u 2 u 1 . || u1 ||2 - , (10) 1 u = ----------2 u 1 u 2 u1 1 = ----------2 u 2 u 1 , u1 u2 u1 . , (, ij ji), u . , H - . , , . , , , ,
2 2

(8), (2), (5), (6) = = = -1, i 2 = j 2 = = -1 ji = - ij. i, j, k . 2, , -

ëàãúÇÖëíêéÇ Ç.Ç. ëàëíÖåõ óàëÖã

123


.. [3, 4]. , ( , , , ), - , .
n-È ?,, Ô Ó^ÂÛ œ É ÒÒÏÌ-äÎËÙÙÓ

óàëãÄ èÄìãà

w = a0 + a1i1 + a2i2 + a3i3 + a4i12 + a5i13 + a6i23 + 7i123 , i1 , i2 , i3 - i12 = i1i2 , i13 = i1i3 , i23 = i2i3 , i123 = i1i2i3 - , i 1 = i 2 = i 3 = 1, i2 i1 = -i1 i2 , i3 i1 = -i1 i3 , i3 i2 = -i2 i3 .
2 2 2

(14)

, n- w = 1 + 2l, (11)

3 i1 i1 i2 i3 i12 i13 i23 i123 1 - i12 - i13 - i2 - i3 i123 i23
2

i2 i12 1 - i23 i1 - i123 - i3 - i13

i3 i13 i23 1 i123 i1 i2 i12

i12 i2 - i1 i123 -1 i23 - i13 - i3

i13 i3 - i123 - i1 - i23 -1 i12 i2

i23 i123 i3 - i2 i13 - i12 -1 - i1

i123 i23 - i13 i12 - i3 i2 - i1 -1

1 , 2 - (n - 1)- (1), (7) .., l - , , i, j. , w w = a0 + a1i1 + a2i2 + ... + amim , (12)

m = 2n - 1; a0 , a1 , ..., am - ; i1 , i2 , ..., im - , . i1 = i, i2 = j, ..., in = l , is = ipiq ... ir , 1 p < q < ... < r n. : i p = p,
2

i q i p = pq i p i q , p, q = 1, 2, ..., n ,

(13)

, i 12 = i1i2i1i2 = - i1i1i2i2 = - 1, i12i23 = i1i2i2i3 = = i1i3 = i13 .. . 3. (14) , . , , . , . 3. , || w || = = a 0 + a 1 + ... + a 7 w 2 ~ ~ ~ ~ 4 w = ww + w 1 w 1 + w 2 w 2 + w 3 w 3 , wp = ~ = ipwi p , "" w = a 0 + a 1 i 1 + a 2 i 2 + a 3 i 3 - - a 4i12 - a 5 i 13 - a 6 i 23 - a 7 i 123 . , || w1w2 || = || w1 || || w2 || , , w1 w = w 2 , ww 1 = w 2 w1 0, w2 . .
ÉàèÖêäéåèãÖäëçõÖ óàëãÄ
2 2 2

p < q;

p , pq -1, 1, 0. , 2 in + 1 = i1in i n + 1 = i1ini1in = = 1 n i1i1inin = 1 n 1 n . n = 1 1 = -1 (11), (12) , n = 1, 1 = 1 - , n = 1, 1 = 0 - , n = 2 1 = 2 = -1, 12 = -1 - . , (13) pq = -1 ( ); p = 0, pq = -1 ( ); n = 3 p = 1, pq = -1 ( ); n = 4 1 = 1, 2 = 3 = 4 = -1, pq = -1 ( ); n = 5 1 = 2 = 1, 3 = 4 = -1, pq = -1 ( ) . , , : , , , .. [5-7].

. u = a 0 + a 1i 1 + a 2i 2 + ... + a ni n , (15)

a0 , a1 , ..., an - , i0 , i1 , ..., in - , . , ,

124

ëéêéëéÇëäàâ éÅêÄáéÇÄíÖãúçõâ ÜìêçÄã, <8, 1998


: ip i q = pq0 + pq1i1 + pq2i2 + ... + pqnin , (16) pqr R; p, q = 1, 2, ..., n. (15) , () n + 1. , , u1u2 = u2u1 u1 , u2 ; , , (u1u2)u3 = u1(u2u3); , u1u = u2 , uu1 = u2 u1 0 u2 . . , . (8) . 1 , = 0, 0, 0. , , . , ("", " " " "), .
èêéñÖÑìêÄ ìÑÇéÖçàü äùãà-ÑàäëéçÄ

(16) . , , , -. 1. U = R. U(2) a + bi, a, b R i = e. (17), (a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i, C . , U(2) = C. 2. U = C. U(2) - z1 + + z2 j , z1 , z2 C j = e. z1 = a + bi, z2 = c + + di, u = a + bi + cj + dk, k = ij. (17) , i, j, k . 2 ( ). , U(2) = H - .
éäíÄÇõ

U = H. U(2) w = u 1 + u 2e = = a 0 + a 1i + a 2 j + a 3k + ( a 4 + a 5i + a 6 j + a 7k ) e = = a 0 + a 1 i 1 + a 2 i 2 + a 3 i 3 + a 4i4 + a 5 i 5 + a 6 i 6 + a 7 i 7 , (18) u1 , u2 H, ap R, i1 = i, i2 = j, i3 = k, i4 = e, i5 = ie, i6 = je , i7 = ke - , (17) . 2 . 4.
4 i1 i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 -1 - i3 i2 - i5 i4 i7 - i6 i2 i3 -1 - i1 - i6 - i7 i4 i5 i3 - i2 i1 -1 - i7 i6 - i5 i4 i4 i5 i6 i7 -1 - i1 - i2 - i3 i5 - i4 i7 - i6 i1 -1 i3 - i2 i6 - i7 - i4 i5 i2 - i3 -1 i1 i7 i6 - i5 - i4 i3 i2 - i1 -1

U - (15) (16). U(2) u = u1 + u2e, u1 , u2 U, e - , . , U(2) : u1 + u2e = 1 + 2e u1 = 1 , u2 = 2 ; (u1 + u2e) + (1 + 2e) = u1 + 1 + (u2 + 2)e, (17) ( u1 + u2 e ) ( 1 + 2 e ) = u1 1 - 2 u2 + ( 2 u1 + u2 1 ) e , u = a0 - a1i1 - a2i2 - ... - anin . (17), u (a + + 0 e)(u1 + u2e) = au1 + au2e. U(2), 2(n + 1), U, U(2) -. - (17). , U

(18) . , . , i1 i 2 i2 i 1 , (i3 i 4) i 5 i 3(i4 i 5) . , , , . , , ww = ww = = || w || 2, || w1w2 || = || w1 || || w2 ||, w = a0 - a1i1 - a2i2 - ...

ëàãúÇÖëíêéÇ Ç.Ç. ëàëíÖåõ óàëÖã

125


... - a7i7 - w, w = a 0 + a 1 + ... + a 7 - a w, w1 w = w 2 , ww 1 = w 2 w1 0, w2 . w = u 1 + u 2 e , u1 , u2 H, (9). , .
2 2 2

2 i1 = 0 1 0 1 = -1 0 -1 0 = 0 0 + 1 ( -1 ) -1 0 + 0 ( -1 ) 0 1 + 1 0 = -1 0 = -i . 0 -1 1 + 0 0 0 -1

, , . - 15 .. , , .
åÄíêàóçéÖ èêÖÑëíÄÇãÖçàÖ çÖäéíéêõï óàëÖã

i0 , i1 "" z = ai0 + bi1 z = a b , -b a (20)

. , z = a + bi , , : (a; b)(c; d) = (ac - bd; ad + bc), (a; b)(c; d) = (ac + bd; ad + bc), (a; b)(c; d) = (ac; ad + bc). . , [8]. 1. z = a + bi - . z = ai0 + bi1 , i0 = 1, i1 = i. i0 , , i1 1, i 0 = i0 ,
2

z. (20) , (20). . [9]. (20) . , (20) (20), a1 b1 x1 x2 a2 b2 = , -b1 a1 - x2 x1 -b2 a2 , . 2. u = a + bi + cj + dk = ai0 + + bi 1 + ci 2 + di 3 i0 = 1 0 0 1 , i1 = i 0 0 -i ,

i2 = 0 1 , -1 0

i3 = 0 i , i 0

i0i1 = i1i0 = i1 , ai1 = i1a,

i 1 = - i0 ,
2

i C. i0 i1 , i2 , i3 1 i, j, k ( ). u u = a + bi - c + di c+d a-b i = z1 i -z2 z2 , z1 (21)

(19)

ai0 = i0a,

a R.

i0 , i1 i0 = 1 0 , 0 1 i1 = 0 1 . -1 0

z1 = a + bi, z2 = c + di - . (21) . 3. i0 :

, i0 , i1 (19). ,

126

ëéêéëéÇëäàâ éÅêÄáéÇÄíÖãúçõâ ÜìêçÄã, <8, 1998


i0 = 1 0 i2 = 0 i

0 , 1 -i , 0

i1 = 0 1 i3 = 1 0

1 , 0 0 . -1

, . .. .
ãàíÖêÄíìêÄ
1. .. . .: , 1978. 416 . 2. .. // . .: - .-. ., 1961. . 6. . 197-203. 3. .., .. . .: , 1973. 144 . 4. .. . .: , 1986. 120 . 5. Brackx F., Delanghe R., Sommen F. Clifford Analysis. Boston; L.; Melbourne: Pitnam, 1982. 302 p. 6. .. // . . .: , 1995. . 30: 3. . 205-257. 7. . . .: , 1987. 8. .. // . 1996. 7. . 111-118. 9. .. // . 1997. 4. . 99-104. 10. -- .. . .: , 1976. 648 .

i12 = i1i2 , i13 = i1i3 , i23 = i2i3 , i123 = i1i2i3 . . , .
áÄäãûóÖçàÖ

, . , : , , ax = b , xa = b ( a 0 ) , () , . , C . , C H , , C, H . , , . , a + bi + + cj , . , . , ,

*** , - , , . . .. . - . 60 .

ëàãúÇÖëíêéÇ Ç.Ç. ëàëíÖåõ óàëÖã

127