Научная Сеть >> Метод построения дискретных моделей непрерывных динамических систем

Наука >> Вычислительная математика | Научные статьи

В системе Matlab для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) имеются встроенные функции ode23 и ode45. Поэтому непрерывная модель представляется как система дифференциальных уравнений 1-го порядка в явной форме Коши

${\frac{{dX}}{{dt}}} = f(X,t),$

где $X$ - вектор состояний, $t$ - время, $f$ - вектор-функция.

При моделировании сложных динамических систем решение ОДУ в этой форме приводит к построению неустойчивых разностных схем. Для устранения этого недостатка можно использовать разложение передаточной функции системы (подсистемы) $W(s)$ на простые дроби

$W(s) = {\frac{{b(s)}}{{a(s)}}} = {\frac{{r_{1} }}{{s - \alpha _{1} }}} + {\frac{{r_{2} }}{{s - \alpha _{2} }}} + ... + {\frac{{r_{n} }}{{s - \alpha _{n} }}},$

где $r$ - вектор-столбец вычетов, $\alpha$ - вектор-столбец полюсов, $s$ - комплексная переменная. Однако разложение функции $W(s)$ на простые дроби плохо обусловлено. Если полином знаменателя имеет корни близкие к кратным, то малые возмущения данных, как правило, приводят к большим погрешностям вычисления полюсов и вычетов [Потемкин В. Г., 1997].

В данной работе предлагается метод построения дискретных моделей основанный на представлении функции $W(s)$ в следующем виде

$W(s) = K \cdot {\frac{{(s - \beta _{1} )(s - \beta _{2} )...(s - \beta _{m} )}}{{(s - \alpha _{1} )(s - \alpha _{2} )...(s - \alpha _{n} )}}},$

(1)

где $\beta$ - вектор-столбец нулей. Осуществить представление (1) можно с использованием функции roots(p), где p - вектор-строка коэффициентов полинома a(s) и $b(s)$ . При значениях $n = 3, m = 2$ система уравнений состояния и уравнение наблюдения представляются следующим образом:

${\left\{ {\begin{array}{l} {u_{1} ^{(1)}(t) = \alpha _{1} u_{1} (t) + K \cdot x(t);} \\ {u_{2} ^{(1)}(t) = \alpha _{2} u_{2} (t) + u_{1} (t);} \\ {u_{3} ^{(1)}(t) = \alpha _{3} u_{3} (t) + u_{2} (t);} \\ \end{array}} \right.}$

(2)

$y(t) = a_{1} u_{1} (t) + a_{2} u_{2} (t) + a_{3} u_{3} (t),$

(3)

где $a_{1} = 1,\; a_{2} = \alpha _{2} + \alpha _{3} - \beta _{1} - \beta _{2} ,\; a_{3} = \alpha _{3}^{2} - \alpha _{3} \beta _{2} - \alpha _{3} \beta _{1} + \beta _{1} \beta _{2} .$

Ориентированный граф решения системы уравнений (2), (3) в аналоговой форме приведен на рис. 1. При построении графа предполагается, что каждой вершине графа, помеченной переменной состояния $u_{i} ,\,i = \overline {1,3} ,$ соответствует операция интегрирования [Макарычев П. П., 1988].

Рис. 1. Граф решения в аналоговой форме

При $x(t) = 1(t)$ первое уравнение системы (2) имеет решение

$u_{1} (t) = u_{1} (t_{0} ) \cdot \exp (\alpha _{1} t) - {\frac{{K}}{{\alpha _{1} }}}(1 - \exp (\alpha _{1} t) \cdot x(t_{0} )).$

Следовательно, если принять шаг дискретизации $\tau > 0,$ то разностную схему, для первого уравнения системы (2), можно записать в виде:

$u_{1} (k + 1) = d_{1,1} u_{1} (k) + d_{1,2} \cdot x(k),$

(4)

где $d_{1,1} = \exp (\alpha _{1} \tau )$ - полюс дискретной передаточной функции $W(z),\; d_{1,2} = {{K(\exp (\alpha _{1} \tau ) - 1)} / {\alpha _{1} }},\; k$ - сокращенная форма записи моментов времени $k\tau ,\;k = 0,\,1,\,2,\ldots$ Аналогично строятся разностные схемы для второго и третьего уравнений состояния системы (2)

$u_{q1} (k + 1) = d_{q,1} u_{1} (k) + d_{q,2} \cdot u_{q - 1} (k), \quad q = 2,\,3,$

(5)

где $d_{q,1} = \exp (\alpha _{q} \tau )$ - второй и третий полюса, $d_{q,2} = {{K(\exp (\alpha _{q} \tau ) - 1)} / {\alpha _{q} }}.$

В соответствие с уравнениями (4), (5) разностная схема для уравнения наблюдения имеет вид

$y(k) = a_{1} u_{1} (k) + a_{2} u_{2} (k) + a_{3} u_{3} (k).$

(6)

Граф решения уравнений (4), (5), (6) приведен на рис. 2. При построении графа предполагается, что каждой вершине графа, помеченной переменной состояния $u_{i} (k),\,i = \overline {1,3} ,$ соответствует операция суммирования и операция задержки на время $\tau$ [Макарычев П. П., 1988]. Анализируя рис. 2 несложно убедиться, что дискретная модель динамической системы сохраняет структурное подобие с непрерывной моделью, а полюса $d_{1,1} ,\,d_{2,1} ,\,d_{3,1}$ передаточной функции $W(z)$ подобраны в соответствие с полюсами передаточной функции $W(s).$

Рис. 2. Граф решения в дискретной форме

Исследование устойчивости разностных схем, построенных по предлагаемому методу, показывает, что они обладают абсолютной устойчивостью (устойчивы при всех $\tau \gt 0$ ).

Для нахождения начальных значений переменных состояния дискретной модели на основе (2), (3) можно построить следующую линейную систему алгебраических уравнений:

${\left\{ {\begin{array}{l} {a_{1} u_{1} (t_{0} ) + a_{2} u_{2} (t_{0} ) + a_{3} u_{3} (t_{0} ) = y_{0} ;} \\ {(\alpha _{1} a_{1} + a_{2} )u_{1} (t_{0} ) + (a_{2} a_{2} + a_{3} )u_{2} (t_{0} ) + \alpha _{3} a_{3} u_{3} (t_{0} ) = y_{1} ;} \\ {(\alpha _{1}^{2} a_{1} + \alpha _{1} a_{2} + \alpha _{2} a_{2} + a_{3} )u_{1} (t_{0} ) + (\alpha _{2}^{2} a_{2} + \alpha _{2} a_{3} + \alpha _{3} a_{3} )u_{2} (t_{0} ) + } \\ { + \alpha _{3}^{2} a_{3} u_{3} (t_{0} ) = y_{2} ,} \\ \end{array}} \right.}$

(7)

где $y_{0} = y(t_{0} ),\; y_{1} = y^{(1)}(t_{0} ),\; y_{2} = y^{(2)}(t_{0} )$ - начальные значения для исходного дифференциального уравнения. Решением системы (7) являются начальные значения переменных состояния $u_{1} (t_{0} ),\; u_{2} (t_{0} ),\; u_{3} (t_{0} ).$

В случае комплексно-сопряженных корней представление исходного дифференциального уравнения системой уравнений (2), (3) приводит к вычислениям с переменными комплексного типа. Чтобы исключить операции с комплексными переменными следует осуществить дополнительные преобразования дискретной модели. Пусть $\alpha _{2} = - a + jb,\; \alpha _{2} = - a - jb.$ Уравнения (5) в z- изображении имеют вид

$u_{q} (z)(z - d_{q,1} ) = d_{q,2} u_{1} (z),\,\,q = 1,\,2.$

(7)

Подставив первое уравнение системы (7) во второе, получим уравнение, описывающее зависимость переменных состояния $u_{1} ,\,u_{3}$ в следующем виде:

$u_{3} (z) = {\frac{{d_{2,2} d_{3,2} }}{{(z - d_{2,1} )(z - d_{3,1} )}}}u_{1} (z)$

или

$u_{3} (k + 1) = (d_{2,1} + d_{3,1} )u_{3} (k) + d_{2,1} d_{3,1} u_{3} (k - 1) + d_{2,2} d_{3,2} u_{1} (k - 1).$

Отсюда следует, что при исключении переменной состояния $u_{2} (k)$ из описания дискретной модели коэффициенты при переменной состояния $u_{3} (k)$ могут быть только вещественного типа:

$\begin{array}{l} d_{2,1} + d_{3,1} = 2\exp ( - a\tau )\cos (b\tau ); \\ d_{2,1} d_{3,1} = \exp ( - 2a\tau ); \\ d_{2,2} d_{3,2} = {{(1 - 2\exp ( - a\tau )\cos (b\tau ) + \exp ( - 2a\tau ))} / {(a^{2} + b^{2}).}} \\ \end{array}$

Следовательно, при решении системы уравнений состояния дискретной модели все вычисления будут производиться только с переменными вещественного типа, что значительно снизит затраты времени при моделировании динамических систем большой размерности.

На рис. 3 приведены графики решения дифференциального уравнения третьего порядка при следующих значениях нулей и полюсов: $\alpha _{1} = - 4, \alpha _{2} = - 2, \alpha _{3} = - 3, \beta _{1} = 1, \beta _{2} = 2.$ График аналитического решения изображен непрерывной линией. График численного решения изображен штриховой линией и искусственно смещен вверх. График погрешности численного решения изображен штрих пунктирной линией c увеличением по оси ординат в 100 раз. Из рисунка видно, что относительная погрешность численного решения уравнения не превышает 1%.

Рис. 3. Графики решения дифференциального уравнения

Обсуждаемый метод построения дискретных моделей использовался автором при моделировании структурированных многокомпонентных линейных и нелинейных динамических систем с явно выделенными обратными связями. Использовался метод и для построения моделей динамических систем при нерегулярном шаге дискретизации.

Литература

Потемкин В. Г. Система Matlab. Справочное пособие. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1997. - 350 с.
Макарычев П. П. Моделирование непрерывных и дискретных динамических систем. Учебное пособие. - Пенза: Пенз. политехн. ин-т, 1988. - 78 с.

П.П.Макарычев

Написать комментарий

Метод построения дискретных моделей непрерывных динамических систем.

Литература