П.В. Кузьмин (Костромская Государственная Сельскохозяйственная
Академия)
Издательство КГСХА, 2002 г.
| Содержание |
Чтобы найти и воспользуемся начальными условиями, т.е.
необходимо знать значение координаты и скорости в начальный момент времени.
Пусть
Тогда с учетом этого и выражения (8) получим следующее
Откуда
Подставим постоянные интегрирования в выражение и получим. И это правильно,
т.к. решение уравнения должно быть действительным, поэтому коэффициенты
комплексно-сопряженные.
Используя представление Эйлера для комплексных чисел, и взяв только
действительную часть (именно она будет описывать реально происходящие
физические процессы), получим
![$ x(t) = x_{0} e^{ - \beta t}\cos (\omega t) + \left( {{\displaystyle \frac{{\displaystyle \upsilon _{0} }}{{\displaystyle \omega }}} + {\displaystyle \frac{{\displaystyle \beta x_{0} }}{{\displaystyle \omega }}}} \right)e^{ - \beta t}\sin (\omega t) $](http://images.nature.web.ru/nature/2002/06/10/0001187014/tex/formula161.gif) | (10) |
Выражение (10) можно привести к виду
где амплитуда - -
начальная фаза, - частота
собственных затухающих колебаний.
Амплитуда и начальная фаза находятся из начальных условий для координаты и скорости, а частота собственных незатухающих колебаний и коэффициент затухания - через параметры колебательной системы (см. рис. 1.2.2).
![](http://images.nature.web.ru/nature/2002/06/10/0001187014/fig1-2-2.gif) | Рис. 1.2.2 |
Амплитуда убывает экспоненциально.
Если за некоторый промежуток времени известно изменение амплитуды, то
коэффициент затухания можно найти по формуле:
Экспоненциальная зависимость амплитуды от времени характерна только для вязкого затухания, т.е. когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения. Факт, что вид функции затухания амплитуды связан с видом функции сопротивления, был отмечен Ньютоном.
Дополнительно для описания затухающих колебаний используется еще одна
величина.
Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуды колебаний в некоторый момент времени к амплитуде колебаний через один период.
Замечания о скорости и ускорении.
Скорость:
или если умножить и разделить правую часть выражения на то
Если ввести угол, определяемый условиями тогда:
Значение угла заключено в интервале (Из каких соображений можно сделать такой вывод?) Т.о. при наличии в
системе сил сопротивления скорость опережает по фазе координату больше, чем
на
Ускорение.
Проделывая ту же процедуру, что и раньше, получим
т.е. ускорение опережает скорость также на угол , который изменяется от
до ![$\pi .$](http://images.nature.web.ru/nature/2002/06/10/0001187014/tex/formula44.gif)
Если тогда говорят о критическом затухании. Если подставить значения
коэффициента затухания и собственной частоты колебаний, то для величины
критического затухания получим
Решение уравнения (7) будет иметь вид:
где ![$\lambda = - \beta .$](http://images.nature.web.ru/nature/2002/06/10/0001187014/tex/formula175.gif)
Рассмотрим, например, незатухающие колебания крутильного маятника. За
координату выберем угол поворота. Возвращающая сила при больших отклонениях
(при больших углах поворота) от положения равновесия не является линейной.
Запишем уравнение движения, составленное по 2-му закону Ньютона для
вращательного движения.
Момент, действующий на маятник, является некоторой функцией угла поворота.
знак минус говорит о том, что момент является возвращающим, т.е. действует в
направлении противоположном смещению из положения равновесия. Тогда
Введем обозначение (частота собственных незатухающих колебаний или
собственная частота), окончательно приведем к виду:
Вторую производную по времени преобразуем к виду
Тогда уравнение движения принимает вид
Предполагая, что маятник находится в положении максимального удаления от
положения равновесия, получим
Это означает, что для любого положения колеблющегося маятника его
кинетическая энергия равна разности накопленной (максимальной) потенциальной
энергии и потенциальной энергии в рассматриваемый момент времени.
Выразим
Знак минус принят потому, что в рассматриваемых начальных условиях угол
с течением времени убывает.
Интегрируя, получаем
Откуда можно вычислить время, необходимое для достижения маятником любого
заданного положения.
Назад| Вперед
Написать комментарий
|