Научная Сеть >> <b style="color:black;background-color:#66ffff">Колебания</b>. Краткий конспект лекций.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Колебания и волны >> Электрические колебания | Курсы лекций

Написать комментарий

Добавить новое сообщение

См. также

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Колебания. Краткий конспект лекций.

П.В. Кузьмин (Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия)
Издательство КГСХА, 2002 г.

Содержание

7.5. Краткие выводы

Вынужденные колебания возникают в системе под действием внешней периодической ЭДС.
Если внешняя периодическая ЭДС является гармонической (т.е. изменяется по синусу или косинусу), то возникающие колебания будут гармоническими.
Вынужденные колебания (установившиеся) происходят с частотой вынуждающей силы, их нельзя возбудить за счет ненулевых начальных условий.
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды вынуждающей ЭДС, от инерциальных (индуктивность) свойств системы и от соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний системы.
Наряду с вынужденными колебаниями в системе при наличии ненулевых начальных условий возникают и собственные колебания, которые при наличии сопротивления будут затухающими. Эти колебания происходят с собственной частотой, их амплитуда зависит от начальных условий.
В системе возникают также сопровождающие колебания, которые при наличии сопротивления также будут затухающими. Эти колебания происходят с собственной частотой, но их амплитуда зависит от параметров внешней ЭДС.
При наличии активного сопротивления все колебания, кроме вынужденных колебаний с течением времени затухнут. Т.е. установившиеся колебания являются вынужденными колебаниями и происходят с частотой вынуждающей силы.
Если частота вынуждающей силы мало отличается от частоты собственных колебаний, а активное сопротивление отсутствует, то наблюдаются биения - колебания, амплитуда которых медленно изменяется с течением времени по гармоническому закону.
При приближении частоты вынуждающей ЭДС к частоте собственных колебаний наблюдается явление резонанса, которое заключается в резком увеличении амплитуды вынужденных колебаний.
Резонансная частота зависит от параметров вынуждающей ЭДС, инерциальных свойств системы (индуктивности), собственной частоты и коэффициента затухания.
При наличии сопротивления амплитуда заряда, силы тока достигает максимального значения при различной частоте вынуждающей силы.
При отсутствии сопротивления в случае резонанса амплитуда колебаний монотонно нарастает со временем.
При наличии активного сопротивления, амплитуда колебаний остается конечной величиной.
При действии на систему периодической негармонической ЭДС, резонанс возможен, если период возмущающей силы равен или кратен периоду колебаний системы.
Для силы тока резонанс наступает на собственной частоте $\omega _{0}$ не зависимо от величины затухания.

8. Энергия электромагнитных колебаний

Незатухающие свободные колебания

Для свободных незатухающих колебаний характерно сохранение полной энергии в любой момент времени.

Энергия магнитного поля катушки индуктивности (учитываем, что сила тока первая производная заряда по времени)

$W_{M} \left( {\displaystyle t} \right) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle L \cdot {\displaystyle \left[ {\displaystyle I\left( {\displaystyle t} \right)} \right]}^{2}}}{{\displaystyle 2}}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle L\omega _{0}^{2} Q^{2}}}{{\displaystyle 2}}}\sin ^{2}\left( {\displaystyle \omega _{0} t + \varphi _{0} } \right) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle L\omega _{0}^{2} Q^{2}}}{{\displaystyle 4}}}{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 - \cos \left( {\displaystyle 2\omega _{0} t + 2\varphi _{0} } \right)} \right]}$

(дополнительно использована формула для синуса двойного угла)

Энергия электрического поля конденсатора

$W_{E} \left( {\displaystyle t} \right) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle C{\displaystyle \left[ {\displaystyle Q\left( {\displaystyle t} \right)} \right]}^{2}}}{{\displaystyle 2}}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle CQ^{2}}}{{\displaystyle 2}}}\cos ^{2}\left( {\displaystyle \omega _{0} t + \varphi _{0} } \right) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle L\omega _{0}^{2} Q^{2}}}{{\displaystyle 4}}}{\displaystyle \left[ {\displaystyle 1 + \cos \left( {\displaystyle 2\omega _{0} t + 2\varphi _{0} } \right)} \right]}$

(дополнительно использована формула для косинуса двойного угла)

Полная энергия

$W = W_{M} \left( {\displaystyle t} \right) + W_{E} \left( {\displaystyle t} \right) = {\displaystyle \frac{{\displaystyle CQ^{2}}}{{\displaystyle 2}}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle L\omega _{0}^{2} Q^{2}}}{{\displaystyle 2}}} = const.$

Затухающие свободные колебания

При затухающих колебаниях полная энергия системы будет уменьшаться из-за наличия активного сопротивления в системе.

Энергия колебательного контура совершает колебания с удвоенной частотой и затухает со временем быстрее, чем заряд или сила тока (коэффициент затухания для энергии равен $2\beta$ ).

Добротность - величина, характеризующая качество колебательной системы, равная отношению энергии, запасенной в системе к энергии, теряемой за один период колебаний.

$Q = 2\pi {\displaystyle \frac{{\displaystyle W}}{{\displaystyle {\displaystyle \left| {\displaystyle \Delta W_{T} } \right|}}}}.$

Чем больше добротность, тем "лучше" система "приспособлена" для совершения колебаний, тем меньше энергии теряется за один цикл колебаний. Добротность электрических систем гораздо больше добротности механических систем. Колебательные контуры теряют, как правило, меньше энергии, чем механические колебательные системы.

Поскольку в подавляющем большинстве случаев мы имеем дело с малым затуханием (выражение $2\beta T \to 0$ ), то по аналогии с механическими колебаниями (см. 3) можно получить формулу

$Q \approx {\displaystyle \frac{{\displaystyle 2\pi }}{{\displaystyle 1 - \left( {\displaystyle 1 - 2\beta T} \right)}}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle \beta T}}}$

Подставим выражение для периода колебаний и окончательно получим

$Q \approx {\displaystyle \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle \chi }}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \omega }}{{\displaystyle 2\beta }}} \quad .$

Замечание. Часто добротность определяют, как отношение резонансной амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе (или катушке индуктивности) (т.е. $U_{0C} \left( {\displaystyle \Omega _{p} } \right)$ ) к приложенному напряжению (т.е. $U_{A}$ ). Т.е. $Q = {\displaystyle \frac{{\displaystyle U_{0C} \left( {\displaystyle \Omega _{p} } \right)}}{{\displaystyle U_{A} }}}.$ Что, впрочем, после всех вычислений, приводит к тому же результату $Q = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle \chi }}} = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \omega }}{{\displaystyle 2\beta }}}$ или

$Q = {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle R}}}\sqrt {{\displaystyle \frac{{\displaystyle L}}{{\displaystyle C}}}} .$

Если вспомнить о волновом сопротивлении последовательного контура, тогда

$Q = {\displaystyle \frac{{\displaystyle \rho }}{{\displaystyle R}}}.$

Мощность в цепи переменного тока. Под переменным током обычно понимают синусоидальный квазистационарный ток. В цепи переменного тока мощность, как и сопротивления, подразделяется на два вида: активная мощность и реактивная мощность.

Активная мощность - это мощность, выделяемая в виде тепла на активном сопротивлении. Активная мощность превращается в механическую мощность при использовании электродвигателей.

Реактивная мощность - это мощность, связанная с наличием реактивного сопротивления. Сдвиг фаз между током и напряжением в цепи переменного тока приводит к "неэффективному использованию мощности электрического тока".

Активную мощность можно найти по формуле:

$P = IU\cos \varphi .$

Если в данной цепи электрическая мощность не преобразуется в механическую мощность, то она выделяется в виде тепла на активном сопротивлении.

$P = I^{2}R$

Реактивную мощность можно найти по формуле:

$Q = IU\sin \varphi \quad или \quad Q = I^{2}X.$

Полная мощность: $S = \sqrt {\displaystyle Q^{2} + P^{2}} = IU.$

Назад| Вперед

П.В.Кузьмин

Написать комментарий