П.В. Кузьмин (Костромская Государственная Сельскохозяйственная
Академия)
Издательство КГСХА, 2002 г.
| Содержание |
При наличии источника изменяющейся ЭДС уравнение для идеального
электрического контура примет вид (схема 3):
| (49) |
Если ЭДС изменяется по гармоническому закону, тогда из (49) получим
| (50) |
Выражение (50) - это дифференциальное уравнение вынужденных гармонических незатухающих колебаний в электрическом контуре.
| Схема 3 |
Решение (см. п. 2.1.) уравнения (50) имеет вид:
1. Случай отсутствия резонанса. (условие )
| (51) |
Выражение (51) можно привести к виду
| (52) |
где амплитуда заряда и начальная фаза:
Амплитуда и начальная фаза колебаний при действии вынуждающей силы (ЭДС) зависят не только от начальных условий, но и от параметров возмущающей силы (ЭДС).
В зависимости от соотношения между частотами при вынужденных колебаниях в
электрическом контуре возможно возникновение биений и явления резонанса. (см. п. 2.1.)
2. Случай, когда частота вынуждающей силы близка, но отличается от
собственной частоты колебаний системы.(условие )
Сложение собственных сопровождающих и вынужденных колебаний приводит к
биениям в результате наложения сопровождающих и вынужденных колебаний.
| (53) |
где - амплитуда биений.
Частота биений Амплитуда биений
является периодической медленно изменяющейся функцией времени.
Полное решение в случае биений принимает вид:
| (54) |
(собственные колебания "остаются" и "происходят также как и раньше сами
собой").
3. Случай резонанса. ( условие ) В выражении (23)
переходим к пределу тогда
При этом Тогда
и окончательно получаем
| (55) |
Вывод: Колебания происходят с собственной частотой и амплитудой, линейно возрастающей с течением времени. [С.П. Тимошенко, 1959]
- амплитуда при резонансе как функция времени.
Поскольку затухание отсутствует, то амплитуда колебаний возрастает до
бесконечности, что приводит к разрушению системы.
При наличии источника изменяющейся ЭДС уравнение для реального
последовательного электрического контура примет вид:
| (56) |
Если ЭДС изменяется по гармоническому закону, тогда из (56) получим
или
| (57) |
Выражение (57) - это дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний в реальном электрическом контуре.
| Схема 4 |
где - частота собственных
незатухающих колебаний и - коэффициент
затухания.
Решение (см. п. 2.1.) уравнения (54) имеет вид
| (58) |
Выражение (58) принимает вид (см. п. 2.2.):
| (59) |
Значение фазы вынужденных колебаний См. выражения
(30) - (31).
Рассмотрим установившиеся вынужденные колебания. (Последнее
слагаемое.)
(Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями: координата - заряд, скорость - сила тока.) Изменение заряда
имеет вид:
где -
амплитуда вынужденных колебаний заряда.
Изменение силы тока (сила тока производная заряда по времени):
| (60) |
где
| (61) |
амплитуда силы тока при вынужденных колебаниях. [И.В. Савельев, 1982]
Найдем значение частоты вынуждающей силы, при которой достигается
максимальное значение амплитуды силы тока в цепи
Откуда (рис. 7.2.1).
| Рис. 7.2.1 |
Назад| Вперед
Написать комментарий
|