Автомодельное течение - течение жидкости (газа), которое остается
механически подобным самому себе при изменении одного или нескольких параметров, определяющих это течение. В механически подобных явлениях
наряду с пропорциональностью
геометрических размеров соблюдается пропорциональность механических величин - скоростей, давлений, сил
и
т. д. (см. Подобия теория).
Автомодельное течение - частный случай течения жидкости (газа), когда общая задача гидроаэромеханики сводится к системе безразмерных обыкновенных
дифференциальных уравнений и граничных условий, зависящих от одной надлежащим образом выбранной безразмерной независимой переменной. Благодаря
этому
задача расчета течения упрощается, и удается получить ее численное, а в ряде случаев и аналитическое решение.
Так, при обтекании бесконечного конуса сверхзвуковым равномерным потоком идеального газа (рис. 1)
нельзя
выделить характерный линейный размер, поэтому при растяжении или сжатии картины течения относительно вершины конуса О в произвольное число раз картина не изменяется, т.
е.
остается подобной самой себе. Все безразмерные характеристики течения - относительные скорости, давления и т. д. зависят от одной независимой геометрической переменной
-
полярного
угла . Обтекание конуса описывается системой из двух уравнений - с граничными условиями на поверхности конуса и на присоединенной конической ударной
волне:
Здесь - составляющие относительной скорости в полярной системе координат - отношение удельных
теплоемкостей.
Автомодельное течение в ламинарном пограничном слое существуют лишь при некоторых специальных
законах изменения скорости U вне пограничного слоя, в частности при постоянной скорости U=const (пограничный слой на продольно обтекаемой бесконечной плоской
пластине). Т. к. в рассматриваемом течении нет какой-либо характерной длины, то профили скорости v в автомодельном пограничном слое в различных поперечных сечениях
x=const подобны друг другу и в безразмерных переменных представляются универсальной функцией ,
где у
- расстояние по нормали к пластине, - толщина пограничного слоя. Безразмерная функция тока в автомодельном
пограничном слое удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
с граничными условиями при и при . Здесь - некоторые
постоянные, a - безразмерная автомодельная переменная, пропорциональная . Аналогичные автомодельные течения возможны
и в пограничном слое, возникающем ири свободной (естественной) конвекции.
Автомодельное течение возникает и в основном участке турбулентной свободной струи (рис. 2), вытекающей из
плоского
или круглого сопла
в неподвижную среду, т. к. в сходственных точках любых двух поперечных сечений безразмерные величины скорости (температуры, концентрации)
одинаковы. Для нестационарных автомодельных течений состояние течения в некоторый момент времени t, характеризуемое распределением давлений, скоростей,
температур в пространстве, механически подобно состоянию течения при любом другом значении t. Такие течения образуются, например, в случае сильного взрыва,
а также при распространении в горючей смеси фронта пламени или детонации. В случае сферической симметрии взрыв (поджигание смеси) происходит в точке,
в случае цилиндрической
симметрии - вдоль прямой, а в случае плоских волн - вдоль плоскости. Если в момент t=0 мгновенно выделяется конечная энергия
E0, а начальная плотность газовой среды равна , то введение безразмерной автомодельной переменной
(где r - расстояние от места взрыва, - для сферических волн, - для цилиндрических и \nu=1
- для плоских) позволяет свести задачу определения безразмерных давлений, скоростей, температур за взрывной (ударной)
волной к решению системы
обыкновенных дифференциальных уравнений с автомодельными граничными условиями на ударной волне.
В широком смысле под автомодельностью течения иногда понимают независимость безразмерных параметров, характеризующих течение, от критериев подобия.
Так, коэффициент лобового аэродинамического сопротивления СX (см. Аэродинамические коэффициенты) можно считать
автомодельным по Маха числу М или Рейнольдса числу Re, если в некотором диапазоне их изменения СX от них не зависит.
Автомодельность коэффициента СX по М и Re существует для большинства тел, обтекаемых газом, при больших М (М>8) или достаточно
больших Re (Re>107).