<< 1.4 Энергия гравитационного взаим...
| Оглавление |
1.6 Основы термодинамики звезд >>
Для звезды, находящейся в равновесии, сила гравитационного притяжения,
действующая на какой-либо элемент массы , должна быть скомпенсирована
равной по величине и противоположной по направлению силой. Такая уравновешивающая
гравитацию сила в звездах обусловлена давлением вещества (точнее, градиентом
давления).
В общем случае давление является величиной, позволяющей описать силу,
действующую на выделенный в жидкости или газе объем произвольной формы
со стороны окружающего его вещества, как интеграл по разделяющей поверхности
![$\displaystyle \vec F = -\int\limits_S Pd\vec S,$](http://images.nature.web.ru/nature/2001/01/18/0001159166/img163.gif) |
(1.4) |
где давление зависит только от состояния вещества на этой поверхности.
Вектор
( -- нормаль к элементу поверхности )
направлен в любой точке наружу от поверхности, поэтому в (1.4) перед
интегралом стоит знак минус. Из (1.4) следует размерность давления
дин/см
Для жидкости, в которой давление однородно (
const), имеем очевидное выражение
для силы, действующей на замкнутую поверхность: . Пусть теперь давление
неоднородно. В общем случае в малой окрестности некоторой точки, раскладывая в
ряд, можно записать:
вторые производные![$\displaystyle )+ \cdots \; .$](http://images.nature.web.ru/nature/2001/01/18/0001159166/img172.gif) |
(1.5) |
Подставляя (1.5) в (1.4), найдем, что с точностью до величин
второго порядка малости сила, действующая на объем , ограниченный поверхностью
, равна
, т.е. сила давления является
объемной силой -- она пропорциональна и направлена из области большего
давления в область меньшего. Масса объема равна
. Сила
гравитационного притяжения, которая является массовой силой, равна
.
В равновесии для невращающейся звезды эти две силы должны компенсировать
друг друга, т.е.
Окончательно условие механического равновесия записывается в виде
![\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth}
\epsfxsize =0.5\textwidth
\hbox to0.5\textwidth{\epsfbox{fig/f07.ai}\hss}
\end{wrapfigure}](http://images.nature.web.ru/nature/2001/01/18/0001159166/img177.gif) |
Рис. 7. |
Для сферически-симметричных звезд уравнение гидростатического равновесия имеет
вид
![$\displaystyle {1\over \rho} \,{dP\over dr}+{Gm(r)\over r^2}=0.$](http://images.nature.web.ru/nature/2001/01/18/0001159166/img178.gif) |
(1.6) |
Сила гравитационного притяжения направлена к центру звезды. Уравновешивающая
сила давления пропорциональна
, т.е. для поддержания равновесия
звезды давление должно с необходимостью монотонно расти от поверхности к центру
звезды.
Выделим внутри звезды единичный цилиндрический объем (
см см см ) так, чтобы основания цилиндра были
перпендикулярны радиусу. Для такого объема сила, обусловленная давлением, равна
дин/см . Выделим теперь шаровой сектор с раствором
телесного угла
(см. рис. 7).
Казалось бы, поскольку сила давления на
внешнюю поверхность шарового сектора равна
, то результирующая
сила давления, действующая на единичный объем этого сектора, равна
. Не будет ли более правильным подставлять это
выражение в (1.6) вместо величины
? Оказывается нет. При
выводе силы, действующей на шаровой сектор, мы не учли давление на боковые
поверхности сектора, что дает добавочную силу вдоль радиуса
. С учетом последнего мы опять приходим к выражению для силы
газового давления
.
В общем случае неизотропного давления следует применять выражение
где
. Для обычных газовых звезд давление изотропно
-- выполняется закон Паскаля:
и
.
Предположим, что нам известно уравнение состояния в виде
, т.е.
давление является функцией только плотности. Зададимся значениями в центре
и
. Тогда имеем систему двух обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка:
![$\displaystyle {1\over \rho} \,{dP\over d \,\rho} \,{d \,\rho\over dr}=-{Gm(r)\over r^2},$](http://images.nature.web.ru/nature/2001/01/18/0001159166/img196.gif) |
(1.7) |
![$\displaystyle {dm\over dr}=4\pi \rho \; r^2,$](http://images.nature.web.ru/nature/2001/01/18/0001159166/img197.gif) |
(1.8) |
решая которую, получаем распределение плотности и давления вдоль радиуса.
Рассмотрим асимптотическое поведение решения в центре ( ) и на краю
звезды ( ). При получим
т.е. в центре и
.
На краю звезды имеем и, интегрируя уравнение равновесия (1.7),
получим
const
Для того чтобы звезда имела определенную внешнюю границу, интеграл
должен сходиться при
. Например, для изотермической
атмосферы
const интеграл расходится, т.е.
изотермическая атмосфера должна быть бесконечна.
Если давление является степенной функцией плотности
, то
необходимым (но не достаточным) условием конечности атмосферы является . В этом случае
Из условия
при получим
и
вблизи края звезды. Для частного, но встречающегося часто случая
, получим
при .
![\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth}
\epsfxsize =0.45\textwidth
\hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f08.ai}\hss}
\end{wrapfigure}](http://images.nature.web.ru/nature/2001/01/18/0001159166/img219.gif) |
Рис. 8. |
При определенном уравнении состояния не всегда можно решить задачу
для данной массы (может оказаться, что решений для выбранной массы вообще не
существует). Однако, задаваясь центральной плотностью , можно найти
набор решений с различными массами, т.е. построить кривую (рис. 8).
После этого уже видно, какие решения соответствуют данной массе, при каких
массах существуют решения (т.е. состояния равновесия) и т.п.
Такой же подход применим и в ОТО. Качественно все остается по-прежнему: решение
можно находить, интегрируя от центра, так как внешние слои не создают ускорения.
<< 1.4 Энергия гравитационного взаим...
| Оглавление |
1.6 Основы термодинамики звезд >>
Посмотреть комментарии[2]
|