<< 1.1 Энергия взаимодействия ...
| Оглавление |
1.3 Сферически-симметричные поля тяг... >>
Введем понятие векторного поля ускорений , создаваемых гравитирующими
телами. Одна точечная масса создает поле ускорений :
Окружим массу произвольной замкнутой поверхностью
(рис.1) и вычислим поток
поля через поверхность :
Здесь -- угол между и нормалью к поверхности . Важно
отметить, что полный поток оказался независящим от формы поверхности.
Если имеется несколько масс
то поле является
суперпозицией полей
создаваемых этими массами
|
Рис. 1. |
Используя это свойство гравитационного поля и окружая поверхностью несколько масс,
легко получить
где
Можно убедиться, что масса, расположенная вне замкнутой поверхности , не дает
вклада в
.
Таким образом, полный поток векторного поля равен
причем в сумму входят только те массы, которые лежат внутри . Это положение
называется теоремой Гаусса.
Применим теорему Гаусса к сферическому слою. Пусть -- сфера радиуса , лежащая
внутри этого слоя. Тогда
, т.к. внутри нет масс. Следовательно,
внутри сферического слоя1.1.
Окружим теперь сферически-симметричную конфигурацию массы поверхностью .
Тогда
и . Итак, сферически-симметричная
конфигурация создает поле, эквивалентное полю точечной массы, сосредоточенной в ее
центре.
Для малого объема можно написать
где интеграл берется по поверхности объема , а -- масса, заключенная в этом
объеме. В пределе при отношение есть локальная плотность , так
что получим
Cделаем следующий шаг -- введем потенциал гравитационного поля согласно условию:
Это всегда можно сделать, так как гравитационное поле консервативно: всегда
=0, т.е.
, а это и означает возможность
введения потенциала. Теперь имеем
или
Мы получили уравнение Пуассона -- основное уравнение теории потенциала. Дифференциальный
оператор
называют лапласианом. В декартовых координатах
В сферических координатах (
)
Нетрудно понять, откуда берется такой вид для . Рассмотрим член
, который остается
в уравнении Пуассона для сферически-симметричной задачи. Очевидно, что
-- это поток поля ускорений
через сферу радиуса . Разность потоков через сферы
и
равна
, объем между сферами --
. Разделив
разность потоков на объем, получаем
. Ясно, что в задаче
с цилиндрической симметрией из тех же соображений получим
( -- цилиндрический радиус).
Итак, для сферически-симметричного распределения плотности
<< 1.1 Энергия взаимодействия ...
| Оглавление |
1.3 Сферически-симметричные поля тяг... >>
Посмотреть комментарии[2]
|