Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.

Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги

Написать комментарий

Добавить новое сообщение

Next: 4 Задачи на повторение Up: Тригонометрия для абитуриентов Previous: 2 Отбор чисел на

3 Как решать тригонометрические неравенства

Повторить:п. 2.2. Определение тригонометрических функций.
п. 2.7. Графики синуса и косинуса.

Мы начнем с простейших неравенств, к которым любое тригонометрическое неравенство в конечном счете сводится.

Пример 3.1 $\sin x >1/2$ .

Рис. 104:

$\begin{figure}\epsfbox{t26.1}\end{figure}$

Решение. Для начала выясним, какие точки на тригонометрической окружности соответствуют решениям неравенства. Это - точки, ордината которых больше

, и на окружности они заполняют дугу

, отмеченную на рис. 104.

Теперь можно записать множество чисел, соответствующих точкам на дуге . Ясно, что это множество содержит интервал $(\pi/6;5\pi/6)$ ( $\pi/6$ соответствует точке , $5\pi/6$ - точке ), а вообще наше множество состоит из всех интервалов $(\pi/6 +2\pi k;5\pi/6 +2\pi k)$ , где - целое: ведь если точке на тригонометрической окружности соответствует число , то ей же соответствуют и все числа вида $x+2\pi k$ ( $k\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$ ) (рис. 105).

Рис. 105:

$\begin{figure}\epsfbox{t26.2}\end{figure}$

Ответ к неравенству можно записать так:

$\displaystyle (\pi/6 +2\pi k;5\pi/6 +2\pi k)\qquad (k\in\ensuremath{\mathbb{Z}})$

или еще проще: $\pi/6 +2\pi k<x< 5\pi/6 +2\pi k$ .

Пример 3.2 $\sin x\leqslant 1/3$ .

Рис. 106:

Решение. На тригонометрической окружности множество решений неравенства изобразится дугой

, отмеченной на рис. 106. Нам нужно выбрать на числовой оси какой-нибудь отрезок, соответствующий этой дуге, и тогда останется только прибавить к его границам $2\pi n$ . Выберем какое-нибудь число, соответствующее одному из концов дуги. Очевидно, точке

соответствует $\arcsin\dfrac13$ . Раз это число выбрано, выбор числа, соответствующего другому концу, уже предопределен. Чтобы найти это число, надо сдвинуться из точки $\arcsin\dfrac13$ на числовой оси в отрицательном направлении на расстояние, равное длине дуги

. Точке

на окружности соответствует ноль, точке

- число $-\pi$ , а точке

- число, расположенное еще на $\arcsin\dfrac13$ левее, то есть $-\pi-\arcsin\dfrac13$ . Стало быть, один из отрезков, соответствующих дуге

, будет $\Bigl[-\pi-\arcsin\dfrac13; \arcsin\dfrac13\Bigr]$ , а ответом к неравенству $\sin x\leqslant 1/3$ будет объединение отрезков

$\displaystyle \Bigl[-\pi-\arcsin\dfrac13+2\pi k; \arcsin\dfrac13+2\pi k\Bigr]\quad (k\in\mathbb{Z}).$

Разумеется, тот же ответ можно представить и по-иному, например

$\displaystyle \Bigl[-\dfrac\pi2 +2\pi k; \arcsin\dfrac13+2\pi k\Bigr];\quad \Bigl[\pi-\arcsin\dfrac13+2\pi k; \dfrac{3\pi}2+ 2\pi k\Bigr].$

Рис. 107:

$\begin{figure}\epsfbox{t26.4}\end{figure}$

Пример 3.3 $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x\leqslant -\dfrac34$ .

Решение. Используя ось тангенсов, легко убедиться, что на тригонометрической окружности решения неравенства изображаются двумя дугами, отмеченными на рис. 107. Дуге соответствует интервал $\Bigl(-\dfrac\pi2 ; \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \bigl(-\dfrac34\bigr)\Bigr)$ , а дуге - интервал $\Bigl(\dfrac\pi2 ; \pi+\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \bigl(-\dfrac34\bigr)\Bigr)$ . Второй из этих интервалов получается из первого сдвигом на $\pi$ , так что ясно, что ответ к неравенству - это объединение интервалов

$\displaystyle \Bigl(-\dfrac\pi2 +\pi n; \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \bigl(-\dfrac34\bigr)+\pi n \Bigr)\quad (n\in \mathbb{Z}).$

При решении простейших тригонометрических неравенств можно также пользоваться не тригонометрическим кругом, а графиками. Например, чтобы решить то же неравенство $\sin x\leqslant 1/3$ , достаточно отметить на числовой оси такие точки, что лежащие над ними точки графика $y = \sin x$ имеют ординату не более

(рис. 108). По этому рисунку легко записать ответ.

Рис. 108:

$\begin{figure}\epsfbox{t26.5}\index{Тригонометрические неравенства!использование графиков} \end{figure}$

При оформлении решений простейших тригонометрических неравенств не надо записывать рассуждений наподобие тех, что мы проводили в этих примерах: достаточно рисунка наподобие рис. 106 и ответа. Можно также нарисовать рисунок наподобие рис. 108 и опять же записать ответ.

Задача 3.1 Решите неравенства: а) $\cos x\geqslant 0$ ; б) $\sin x < 0$ ; в) $\cos 100x\geqslant 0$ ; г) $\cos\dfrac x{100}\leqslant 0$ ; д) $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 2x < 0$ .

Задача 3.2 Решите неравенства: а) $\sin 2x \geqslant \dfrac{\sqrt2}2$ ; б) $\sin x <-\dfrac12$ ; в) $\vert\sin x\vert\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; г) $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x > 1$ ; д) $\vert\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x\vert>\dfrac{\sqrt3}3$ .

Задача 3.3 Решите неравенства: а) $\sin x <\dfrac14$ ; б) $\cos 3x > -\dfrac29$ ; в) $\vert\sin x\vert\leqslant \dfrac{\sqrt{10}}{10}$ .

Задача 3.4 Решите неравенства: а) $\sin x > \sin 1$ ; б) $\sin x\leqslant\sin 7$ ; в) $\cos x > \cos 10$ .

Задача 3.5 Решите неравенства: а) $2\sin^2x - 3\cos x - 1\geqslant0$ ; б) $9\cos 4x + 6\cos 2x + 5 < 0$ ; в) $\cos 2x - 2\sin x + 5 > 0$ .

Задача 3.6 Решите неравенства: а) $\arccos x\geqslant\dfrac\pi3$ ; б) $\arccos x < 2$ ;
в) $\arcsin x\leqslant-\dfrac14$ ; г) $\arccos x < \dfrac\pi6$ .

Приведем пример решения более сложного неравенства.

Пример 3.4 $\dfrac{2\sin x + 1}{2\cos\dfrac x2-1}\geqslant 0$ .

Решение. Мы применим ``метод интервалов'', который должен быть вам знаком по решению рациональных неравенств. Рецепт таков: надо на числовой оси отметить те точки, в которых обращаются в нуль числитель и знаменатель; на каждом из интервалов, на которые делится этими точками числовая ось, знак левой части будет постоянен, и останется только записать ответ как объединение интервалов с нужным знаком. В случае тригонометрических неравенств точек и интервалов будет, как правило, бесконечно много, однако они будут периодически повторяться, поэтому достаточно все проделать на отрезке длиной в период.

В нашем случае наименьшим периодом числителя будет $2\pi$ , а знаменателя $4\pi$ . Будем поэтому рассматривать знак левой части на отрезке $[0;4\pi]$ : его длина равна $4\pi$ , а это число служит периодом как числителя, так и знаменателя.

Легко видеть, что на отрезке $[0;4\pi]$ числитель обращается в нуль в точках $\dfrac{7\pi}6$ , $\dfrac{11\pi}6$ , $\dfrac{19\pi}6$ и $\dfrac{23\pi}6$ , а знаменатель - в точках $\dfrac{2\pi}3$ и $\dfrac{10\pi}3$ . Знаки числителя, знаменателя и левой части удобно записать в таблице (точки, в которых знаменатель обращается в нуль, мы в интервалы не включили).

Интервал $\Bigl[0;\dfrac{2\pi}3\Bigr)$ $\Bigl(\dfrac{2\pi}3;\dfrac{7\pi}6\Bigr]$ $\Bigl[\dfrac{7\pi}6;\dfrac{11\pi}6\Bigr]$ $\Bigl[\dfrac{11\pi}6;\dfrac{19\pi}6\Bigr]$

$2\sin x+1$

$2\cos\dfrac x2-1$

Левая часть

Интервал $\Bigl[\dfrac{19\pi}6;\dfrac{10\pi}3\Bigr)$ $\Bigl[\dfrac{10\pi}3;\dfrac{23\pi}6\Bigr]$ $\Bigl[\dfrac{23\pi}6;4\pi\Bigr]$

$2\sin x+1$

$2\cos\dfrac x2-1$

Левая часть

Теперь, выделяя промежутки, на которых левая часть неотрицательна, и прибавляя к их концам $4\pi k$ , получаем

Ответ: $\Bigl[4\pi k;\dfrac{2\pi}3+4\pi k\Bigr)$ ; $\Bigl[\dfrac{7\pi}6+4\pi k;\dfrac{11\pi}6+4\pi k\Bigr]$ ; $\Bigl[\dfrac{19\pi}6+4\pi k;\dfrac{10\pi}3+4\pi k\Bigr]$ ; $\Bigl[\dfrac{23\pi}6+4\pi k;4\pi +4\pi k\Bigr]$ ( $k\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$ ).

Задача 3.7 Ответ к неравенству из примера 0.20 можно записать и так: $\Bigl[\dfrac{7\pi}6+4\pi k;\dfrac{11\pi}6+4\pi k\Bigr]$ ; $\Bigl[\dfrac{19\pi}6+4\pi k;\dfrac{10\pi}3+4\pi k\Bigr]$ ; $\Bigl[\dfrac{23\pi}6+4\pi k;\dfrac{14\pi}3 +4\pi k\Bigr)$ ( $k\in\ensuremath{\mathbb{Z}}$ ). Убедитесь, что ответ в этой форме задает то же самое множество значений .

Задача 3.8 Решите неравенства: а) $\dfrac{\sin 3x}{\sin 5x } \leqslant 0$ ; б) $\cos 2x \geqslant \cos\left(x+\dfrac\pi6\right)$ ; в) $\dfrac{3\sin x + 1}{2\cos x + 1} <1$ .

МЦНМО

Написать комментарий