Next: 4 Задачи на повторение
Up: Тригонометрия для абитуриентов
Previous: 2 Отбор чисел на
Повторить:п. 2.2. Определение тригонометрических функций.
п. 2.7. Графики синуса и косинуса.
Мы начнем с простейших
неравенств, к которым
любое тригонометрическое неравенство в конечном счете сводится.
Пример 3.1
.
Рис. 104:
|
Решение. Для начала выясним, какие точки на
тригонометрической окружности соответствуют решениям
неравенства. Это - точки, ордината которых больше , и на
окружности они заполняют дугу , отмеченную на
рис. 104.
Теперь можно записать множество чисел, соответствующих точкам на
дуге . Ясно, что это множество содержит интервал
( соответствует точке , -
точке ), а вообще наше множество состоит из всех интервалов
, где - целое: ведь если
точке на тригонометрической окружности соответствует число ,
то ей же соответствуют и все числа вида (
)
(рис. 105).
Рис. 105:
|
Ответ к неравенству можно записать так:
или еще проще:
.
Пример 3.2
.
Рис. 106:
|
Решение. На тригонометрической окружности множество
решений неравенства изобразится дугой , отмеченной на
рис. 106. Нам нужно выбрать на числовой оси какой-нибудь
отрезок, соответствующий этой дуге, и тогда останется только
прибавить к его границам .
Выберем какое-нибудь число, соответствующее одному из концов
дуги. Очевидно, точке соответствует
. Раз
это число выбрано, выбор числа, соответствующего другому концу,
уже предопределен. Чтобы найти это число, надо сдвинуться из
точки
на числовой оси в отрицательном
направлении на расстояние, равное длине дуги . Точке на
окружности соответствует ноль, точке - число , а
точке - число, расположенное еще на
левее, то есть
. Стало быть, один из
отрезков, соответствующих дуге , будет
, а ответом к
неравенству
будет объединение отрезков
Разумеется, тот же ответ можно представить и по-иному, например
Рис. 107:
|
Пример 3.3
.
Решение. Используя ось тангенсов, легко убедиться, что
на тригонометрической окружности
решения неравенства изображаются двумя дугами, отмеченными на рис. 107.
Дуге соответствует интервал
, а дуге - интервал
.
Второй из этих интервалов получается из
первого сдвигом на , так что ясно, что ответ к неравенству
- это объединение интервалов
При решении простейших тригонометрических неравенств можно также
пользоваться не тригонометрическим кругом, а графиками. Например,
чтобы решить то же неравенство
, достаточно
отметить на числовой оси такие точки, что лежащие над ними точки
графика
имеют ординату не более
(рис. 108).
По этому рисунку легко записать ответ.
Рис. 108:
|
При оформлении решений простейших тригонометрических неравенств
не надо записывать рассуждений наподобие тех, что мы проводили в
этих примерах: достаточно рисунка наподобие рис. 106 и
ответа. Можно также нарисовать рисунок наподобие
рис. 108 и опять же записать ответ.
Задача 3.1
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Задача 3.2
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Задача 3.3
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
.
Задача 3.4
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
.
Задача 3.5
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
.
Задача 3.6
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Приведем пример решения более сложного неравенства.
Пример 3.4
.
Решение. Мы применим
``метод интервалов'', который должен
быть вам знаком по решению рациональных неравенств. Рецепт таков:
надо на числовой оси отметить те точки, в которых обращаются
в нуль числитель и знаменатель; на каждом из интервалов, на
которые делится этими точками числовая ось, знак левой части
будет постоянен, и останется только записать ответ как
объединение интервалов с нужным знаком. В случае
тригонометрических неравенств точек и интервалов будет, как
правило, бесконечно много, однако они будут периодически
повторяться, поэтому достаточно все проделать на отрезке длиной в
период.
В нашем случае наименьшим периодом числителя будет , а
знаменателя . Будем поэтому рассматривать знак левой части
на отрезке : его длина равна , а это число служит
периодом как числителя, так и знаменателя.
Легко видеть, что на отрезке числитель обращается в
нуль в точках
,
,
и
, а знаменатель - в точках
и
. Знаки числителя, знаменателя и левой части
удобно записать в таблице (точки, в которых знаменатель
обращается в нуль, мы в интервалы не включили).
Теперь, выделяя промежутки, на которых левая часть
неотрицательна, и прибавляя к их концам , получаем
Ответ:
;
;
;
(
).
Задача 3.7
Ответ к неравенству из примера 0.20 можно записать
и так:
;
;
(
).
Убедитесь, что ответ в этой форме задает то же самое множество
значений .
Задача 3.8
Решите неравенства:
а)
;
б)
;
в)
.
Написать комментарий
|