4. Некоторые вопросы и комментарии

Я рассмотрю только три вопроса: 1) связь соревнований с экзаменами и образованием, 2) их влияние на общество, 3) их отношение к реальной науке.

4.1. Связь математических соревнований с экзаменами и образованием

Какое отношение имеют соревнования к экзаменам и образованию? Целью образования является раскрыть человеческие способности, дать учащимся знания и обучить их различным методам и концепциям. Экзамены проверяют, достигнута ли (и до какой степени достигнута) эта цель. Экзамены играют роль обратной связи. Если на экзаменах делается ударение на фактических знаниях или на решении задач, то и образование будут направлено в эту сторону. Если доказательства исчезнут из экзаменов, то они исчезнут и из преподавания.

Экзамены играют и другую роль: после их прохождения студент приобретает определенный социальный статус. Поэтому они должны быть максимально объективными и беспристрастными, а их результаты должны быть бесспорными. Математика подходит для этих целей только в том случае, когда проверке подвергаются лишь практические действия учащегося и конкретные результаты (ответы к задачам). И действительно, большинство экзаменов по математике проверяют именно практическе навыки, а не работу, проделанную учащимся, или его способность к восприятию или генерации новых идей. Поскольку между действием (работой, обучением, размышлением) и результатом прямой связи нет, экзамен может и не оказаться стимулом к работе. Но как же оценить работу как таковую? Все мы знаем, насколько это важно и сложно.

Так или иначе, несмотря на описанную выше обратную связь, роль обыкновенных экзаменов заключается совсем не в том, чтобы определять форму и содержание преподавания и учебных программ.

Но ситуация становится противоположной, когда речь идет о конкурсных экзаменах и подготовке к ним. Тогда целью преподавателя становится только помощь ученику в прохождении этих экзаменов. Как раз так обстоит дело с французскими classes preparatoires (подготовительными классами). Программа и правила экзамена определяют программу и традиции таких классов. В течение длительного времени во Франции решающую роль в подготовке лучших учеников играл вступительный экзамен в cole Polytechnique. Поэтому преподаватели подготовительных классов оценивались следующим образом: чем лучше результаты на экзамене, тем лучше учитель.

В большей или меньшей степени, но это происходит во всем мире. Конкурсные экзамены для получения определенной позиции в жизни оказывают огромное влияние на преподавание математики. Мы должны осозновать сопутствующие опасности.

Совсем другое влияние на образование оказывают соревнования непрофессиональных математиков. Такие соревнования могут быть очень удобны для введения новых тем и идей. С другой стороны, введение новых идей не всегда приносит пользу. Я люблю приводить такой пример. На олимпиаде " Кенгуру" в 1996 году среди самых сложных вопросов был такой: четырехугольное поле разделено диагоналями на четыре треугольника. Площади трех из них (подряд) равны 3000 м², 4000 м² и 5000 м² соответственно. Тогда площадь четвертого треугольника:

а)меньше 3000 м²

б)между 3000 м² и 4000 м²

в)между 4000 м² и 5000 м²?

Точный чертеж нарисовать довольно сложно, но все учащиеся знают, что требуется, чтобы решить задачу. Это очень хороший вопрос. Теперь представьте, что такой же вопрос задается в 1997 или 1998 году (к счастью, это сделано не было). Тогда каждый преподаватель будет учить, что если треугольники, полученные при делении выпуклого четырехугольника диагоналями, имеют площади A, B, C, D, считая по часовой стрелке, то они удовлетворяют соотношению AC=BD. Сложный вопрос превращается в стандартное упражнение.

Итак, конкурсные экзамены влияют на математическое образование напрямую, а математические соревнования -- косвенным. И то, и другое заслуживают внимания.

4.2. Влияние математических соревнований на общество

Какое влияние оказывают математические соревнования на отдельных людей и на общество?

На первый взгляд соревнование предусматривает выбор самого лучшего, а выбор лучшего всегда ассоциируется с отбором элиты. Кажется очевидным, что математические соревнования связаны с делением на лучших и худших, отбором и неравноправием, и математика, если ее рассматривать как средство такого отбора, выглядит очень некрасиво. Я убежден, однако, что влияние математики на общество заслуживает более внимательного рассмотрения.

Рассмотрим для начала мой первый пример: вступительные экзамены в cole Polytechnique, или cole Normale Superieure, или вообще профессионально ориентированные математические соревнования. В наше время разделение, осуществляемое таким отбором, более или менее совпадает с социальным: дети интеллектуалов представлены сверх меры, детей из бедных семей почти нет. Век назад ситуация была другой: cole Normale и cole Polytechnique имели много учеников из бедного сословия и все еще продолжали делать то, что они делали изначально, два века назад -- не только обучать, но и способствовать продвижению по общественной лестнице. Экзамены по математике и математические соревнования могут не только усиливать, но и уменьшать социальное неравенство.

Я хотел бы подчеркнуть эту сдерживающую функцию. Во Франции плохая успеваемость напрямую связана с бедностью устной и письменной речи, неумением использовать французский язык и низкоинтеллектуальным окружением; более того, безработица и отсутствие перспективы приводят к тому, что теряется мотивация к учению. Большие популярные соревнования, подобные австралийской математической олимпиаде или "Кенгуру", могут, как я уже отмечал, выявить скрытые склонности и способности и оказывают стимулирующее действие на большое число детей и подростков. Если математическая деятельность будет выглядеть как игра, и если детям эта игра будет нравиться, родители не будут считать математику сухой и холодной наукой, которой тиранят их детей.

Важно, чтобы существовали математические соревнования разных типов, с различными правилами и заданиями различных типов. Тогда они будут заинтересовывать разных людей. Некоторые из них могут вызвать интерес и взрослых любителей; так можно даже познакомить любителей с настоящей математикой (пример -- Лидсские соревнования). Другие могут вызвать интерес у широкой публики, подобно будапештскому телевизионному соревнованию. Какие-то математические соревнования (например, международные олимпиады) могут способствовать росту самоуважения людей в бедных странах.

Таким образом, математические соревнования играют положительную роль в популяризации математики, особенно учитывая, что в них участвуют молоде люди (может быть, именно массовое участие молодежи стало одной из причин успеха будапештских телесоревнований). Но разве нельзя привлечь внимание к участникам соревнований, не превращая их в телезвезд?

Несколько слов о влиянии математического соревнования на его участников. Это прекрасно, когда соревнование является интересной игрой. Если к тому же молодой человек успешно на нем выступит, то это может указать ему на его призвание. Многие победители международных олимпиад стали крупными математиками. Несколько первоклассных математиков было выявлено на венгерских соревнованиях. Австралийская олимпиада 1983 года имела непредсказуемый результат: ее победитель, получивший стопроцентный результат, в школе имел плохие отметки (большую часть своего времени он проводил на корабле в Тихом океане со своим отцом и любимыми книгами). Теперь он хороший специалист по информатике.

4.3. Математические соревнования и современная математика

Конечно, не каждая новая тема в математике может быть предметом для соревнования. Но кое-что для этого подходит (мы приводили такие примеры в связи с лидсскими соревнованиями). В Венгрии принято составлять задачи для студентов на основе нерешенных математических проблем; этим занимались многие известные математики, например, Пауль Эрдеш (свидетельства этой его деятельности присутствуют в "Matematikai Lapok". Одна из задач, предложенных на международных олимпиадах, была открытым вопросом: дано такое множество точек на плоскости, что каждая прямая, содержащая две из них, содержит еще одну, доказать, что все эти точки лежат на одной прямой. Несмотря на то, что это красивая задача, я не уверен, что это был подходящий вопрос для школьников. Решение элементарно, но гораздо проще его найти, если ты -- профессиональный математик. Еще я помню одну сложную задачу по механике, данную на "agrgation de mathmatiques" много лет назад -- требовалось разработать теорию движения велосипеда. В свое время я предложил в качестве задачи на вступительном экзамене в cole Normale недавно опубликованное доказательство Тегера Банга колмогоровских неравенств об оценке норм высших производных функции одного переменного. Задачи для швейцарской олимпиады, о которой я упомянул в начале, подбираются высококвалифицированными профессиональными математиками. Это прекрасно, когда в подготовку задач для олимпиад вовлечены профессиональные математики Но, с другой стороны, мне кажется, что очень важно, чтобы они принимали участие еще и в проверке работ, чтобы оценить, правильные ли задачи они предложили.

На более высоком уровне, например, на национальных или международных олимпиадах, тоже очень важно участие математиков и опытных учителей на этапе обсуждения задач. Одна из важных задач жюри -- обновлять задачный материал с учетом новых тенденций в математике. Эти жюри могут играть центральную роль в популяризации математики.

Следующий раздел