3. Некоторые примеры математических соревнований

Наверное, стоило бы описать и сравнить какие-нибудь крайние случаи, например аргентинскую систему последовательного отбора на очень широкой основе и венгерский конкурс Швейцера, предназначенный для университетских студентов, готовых просидеть неделю над набором довольно трудных задач. С другой стороны, было бы интересно перечислить все математические соревнования, проводящиеся в какой-нибудь одной стране. Во Франции, например, таких соревнований проводится много: соревнования для элиты и для всех желающих, конкурсы, игры, соревнования между клубами, и т. д. Все эти мероприятия в настоящее время координируются недавно созданной организацией под названием Animath.

Тем не менее я пойду по другому пути: я просто приведу ряд примеров из интересующей меня области.

Конкурсные экзамены с сильной математической компонентой были характерны для Франции. Старейший из них -- вступительный экзамен в "Политехническую школу" (cole Polytechnique), который в свое время не смог сдать Эварист Галуа. По образцу этого экзамена были организованы вступительные экзамены во все "Grandes coles"1, включая Высшие нормальные школы (coles Normales Suprieures). К этим экзаменам готовятся в течение двух лет, после окончания средней школы и получения степени бакалавра, в специальных подготовительных классах, открытых в небольшом количестве средних школ. Учащиеся, лучше других успевающие по математике, поступают не на первый курс университетов, а именно в эти подготовительные классы. Такой разрыв порождает серьезную социальную и научную проблему.

Обычно задачи для конкурсных экзаменов во Франции выстраиваются в последовательность четких вопросов, на манер научной статьи. Когда пятьдесят лет назад я держал экзамен на "agregation" (в то время это был единственный конкурсный экзамен, по результатам которого можно было получить должность школьного учителя), экзамен включал в себя пять письменных работ: элементарная математика (7 часов), специальная математика (7 часов), численный анализ (4 часа), математический анализ (4 часа) и рациональная механика (7 часов), все это в течение одной недели. Чтобы выдержать это, требовалось крепкое здоровье.

Теперь перейду к международным математическим олимпиадам. Они были организованы после войны по инициативе Румынии, и первоначально в них участвовали только восточноевропейские социалистические страны. Постепенно охват участников расширился: в 1988 году участвовало 45 стран, в 1996 году -- 75. Каждый год олимпиада проводится в новом месте; однажды (в начале 80-х годов) ICMI поучаствовала в организации комитета по международным математическим олимпиадам. С тех пор система международных олимпиад работала без сбоев. Все страны заинтересованы в этих олимпиадах так же (хотя и не в такой же степени), как в Олимпийских играх. Каждую страну представляет небольшая команда. Румыния может гордиться своими результатами, а вот Франция -- нет. На решение задач дается очень небольшое время -- в 1996 году в Мумбаи, Индия, за два промежутка по 4,5 часа нужно было сделать шесть коротко формулируемых, но сложных задач. Очевидно, что молодые люди во Франции плохо подготовлены к такого рода соревнованиям, и ассоциации Animath здесь есть что делать.

Во всех международных соревнованиях, особенно спортивных, правила должны быть ясными и строго соблюдаться, поскольку при этом затрагиваются национальные чувства людей. В математических соревнованиях это действительно так, и их результаты действительно являются осмысленными. Особенностью международных олимпиад по сравнению со спортивными соревнованиями является то, что они связани с наукой и мыслительной деятельностью человека; в этих состязаниях работает другая система ценностей, и для победы в них требуется совершенство другого типа, нежели в спорте.

Австралийские математические олимпиады, организованые Питером О'Халлораном в 70-е годы, имеют совсем другой характер. Возможно, это самые популярные математические соревнования в мире, так как в них принимает участие 500,000 человек каждый год -- примерно каждый третий австралийский школьник! Основной принцип этой олимпиады в том, чтобы каждый школьник мог найти задачу лично для себя. Первые задачи в варианте очень простые, а последние -- довольно сложные. Ввиду огроного колличества участников эту олимпиаду возможно проводить только в форме теста. Когда я впервые познакомился с этими соревнованиями в 1983 году, у меня было сильное предубеждения против тестирования; я считал, что расстаножка галочек -- неподходящее средство для выражения математических идей. Но затем я ознакомился с результатами и понял, что это оригинальный и удачный способ выявления математических склонностей и способностей среди молодых людей, которе зачастую плохо умеют выражать свои мысли. То же самое можно сказать про конкурс "Кенгуру" -- французский аналог австралийской олимпиады, организожанный иначе, но на том же принципе тестирования.

Когда ICMI организовал в 1989 году исследование различных форм популяризации математики, многие из нас впервые узнали, что такое Лидсские соревнования. Это соревнования не между отдельными людьми, а между школами Лидсского региона. Профессорами Лидского университета в начале года предлагаются три темы для исследования. Школьники объединяются в команды и работают в течение нескольких месяцев, а в конце срока представляют различные документы: письменные отчеты, фильмы, плакаты, компьютерные программы. Иногда школьники предлагают определенное решение, иногда полное решение и невозможно. Когда я был в жюри этих соревнований, мне приходолось сталкиваться и с тем, и с другим случаем: вопрос по криптологии требовал для своего решения некоторых познаний в алгебре, причем полное решение существовало и было найдено несколькими командами; вопрос о замощениях плоскости предпологал много различных решений; наконец, в качестве ответа на вопрос о динамике популяций были представлены красивые фрактальные картинки, привычные в нелинейной динамике. Это соревнование предполагает настоящую исследовательскую работу, очень похожую на работу профессионального математика, и я был поражен высоким уровнем некоторых работ. С другой стороны, в соревновании принимали участие только элитные школы. Возможно ли расширить круг школ-участниц и не понизить при этом уровень соревнований? Французское математическое общество "Math en Jeans" считает, что это возможно.

Мой последний пример относится уже к прошлому, но о нем стоит сказать. В 60-е годы венгерское телевидение организовало телевизионное соревнование под названием "Ki miben tudos?" (кто что знает?). Математики принимали участие в программе только в 1964 и 1966 годах. Правила соревнований были сложны. Сначала из всей Венгрии отбирались 8 близких к выпуску учеников средних школ, затем в три тура количество претендентов сокращалось до 4, затем до 2, и последний тур определял победителя. Каждый тур состоял из письменной работы на 45 минут и устных вопросов, на решение которых давалось 2--3 минуты. В передаче показывали начало письменной работы (так что зрители тоже могли решать предложенные задачи), через два часа -- решение жюри, а затем устный тур. Жюри было действительно профессиональным (например, Джордж Алексис, Пауль Тюран, Джордж Хайош, Альфред Реньи), и большинство из 16 выбранных молодых людей стали профессиональными математиками. Приведем пример одного из заданий (финал, 1966 год): доказать, что наибольший общий делитель чисел a+b и наименьшего общего кратного a и b есть наибольший общий делитель чисел a и b. И вопросы, и ответы производили сильное впечатление на зрителей. Кажется, недолговечная программа была телевизионным хитом.

1 Это название объединяет лучшие вузы Франции, в частности, вышеупомянутую Политехническую школу. -- пер.

Следующий раздел