Теорема Александрова о развертке

Итак, мы подошли к основной теореме Александрова о развертках выпуклых многогранников. Нам понадобится эйлерова характеристика развертки, которая определяется аналогично эйлеровой характеристике многогранника:

=В-Р+Г,

Подсчитаем эйлерову характеристику для нескольких разверток. Для крестообразной развертки куба (рис. 13, б) имеем: В=8, Р=7, Г=1 и, соответственно, =2. Для развертки куба, изображенной на рис. 13, д имеем: В=11, Р=10, Г=1, откуда опять =2.

Для специальной развертки, у которой каждый многоугольник --- это грань многогранника, каждое ребро --- это ребро многогранника, а вершина --- вершина многогранника, легко видеть, что эйлерова характеристика развертки равна эйлеровой характеристике многогранника. Но нетрудно показать, что эйлерова характеристика сохраняется при перекраивании данной развертки в изометричную ей. Таким образом, эйлерова характеристика любой развертки многогранника равна характеристике этого многогранника. Поэтому у развертки выпуклого многогранника эйлерова характеристика равна 2.

Далее, если вершине развертки соответствует настоящая вершина многогранника, то сумма подходящих к вершине развертки углов строго меньше 2. Если же вершине развертки соответствует какая-нибудь точка внутри грани или ребра, то сумма подходящих к вершине углов равна 2. Поэтому в развертке выпуклого многогранника сумма углов, подходящих к каждой ее вершине, не превышает 2.

Теорема Александрова о развертке. Из всякой развертки, удовлетворяющей условиям:
(1) ее эйлерова характеристика равна 2;
(2) сумма углов, подходящих к любой вершине развертки, не превосходит 2,
можно склеить выпуклый многогранник.

Рис. 17.

Отметим, что среди этих многогранников могут встретиться и вырожденные многогранники. Возьмем развертку, состоящую из двух равных выпуклых многоугольников, у которых соответственные стороны и вершины попарно отождествлены (рис. 17). Эйлерова характеристика такой развертки =В-Р+Г=n-n+2=2, где n --- число сторон у равных многоугольников. Эта развертка удовлетворяет и условию (2). По теореме Александрова, из нее можно склеить многогранник. Это --- вырожденный многогранник, или иначе " двойной многоугольник".

Мы уже упоминали, что в отличие от теоремы Коши теорема Александрова не является интуитивно очевидной. Рассмотрим два примера.

а)	б)	в)
Рис. 18.

а)	б)	в)
Рис. 19.

"Тетраэдрический" пакет. В недалеком прошлом молоко разливалось в пакеты, которые имели форму не параллелепипеда, как сейчас, а правильного тетраэдра. Хотя упаковывать в тару эти тетраэдры было неудобно, зато их легко изготавливать. Сначала прямоугольная лента склеивается в цилиндр, горизонтальные края которого затем заклеиваются в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 18, а, б). Развертка такого тетраэдра --- это прямоугольник, стороны которого разбиваются на меньшие отрезки-ребра развертки, попарное отождествление которых показано на рис. 18, в. Данная развертка удовлетворяет обоим условиям теоремы Александрова. Это можно даже не проверять, так как это развертка выпуклого многогранника. Теперь предположим, что автомат, изготавливающий пакеты, " зачастил". Конкретнее, предположим, что прямоугольник развертки очень " низкий", а правила склеивания остаются теми же (рис. 19, а). Эта развертка, так же как и " высокий" прямоугольник, удовлетворяет условиям (1) и (2). По теореме Александрова, из этой развертки можно склеить выпуклый многогранник. С другой стороны, если нижний край цилиндра уже склеен, то для склеивания в перпендикулярном направлении не хватает высоты (рис. 19, б). Кажется почти очевидным, что эта развертка является контрпримером к теореме Александрова. Тем не менее, и из этой развертки тоже можно склеить тетраэдр (рис. 19, в).

а)	б)	в)
г)		д)
-- настоящая вершина многогранника, -- фиктивная вершина.
Рис. 20.

Другой "контрпример". Возьмем правильный треугольник, поделим его стороны пополам и отождествим половинку каждой стороны с другой ее половинкой (рис. 20, а). Очевидно, что из такой развертки можно склеить правильный тетраэдр (рис. 20, б).

Разрежем треугольник по высоте AE (рис. 20, а) на два прямоугольных треугольника, которые склеим по другому общему катету AE. Получим новую, изометричную развертку ACABAE (рис. 20, в). И опять возникает сомнение в том, можно ли склеить из нее правильный тетраэдр. Между прочим, развертка, показанная на рис. 20, в изометрична развертке, показанной на рис. 20, а и, следовательно, склеить ее в многогранник тоже можно. Более того, это будет тот же правильный тетраэдр. На рис. 20, г представлена еще одна развертка, изометричная предыдущим. Возможность склеить из этой тупоугольнотреугольной развертки тетраэдр кажется еще более сомнительной.

Тем не менее, по теореме Александрова, это можно сделать. И вообще, пусть в рассматриваемой развертке имеются ровно четыре вершины, у которых сумма подходящих углов строго меньше 2. Их определить нетрудно. Ясно, что из такой развертки можно склеить лишь тетраэдр, который может вырождаться в четырехугольник. Чтобы получить на развертке ребра будущего тетраэдра, нужно уже выделенные вершины попарно соединить кратчайшими. Это и будут ребра тетраэдра. Когда развертка " хорошая" (рис. 20, а), эти кратчайшие состоят из целых отрезков и хорошо угадывается будущий многогранник. Но, вообще говоря, кратчайшая на развертке состоит из нескольких отрезков (рис. 20, в, г), и из-за этого трудно определить вид тетраэдра. На рис. 20, г приведена " подозрительная" развертка тетраэдра с уже нарисованными на ней ребрами. Результат склейки показан на рис. 20, д.

Задача определения многогранника по развертке, если развертка имеет более четырех настоящих вершин (в которых сумма подходящих углов меньше 2), является очень трудной. По теореме Александрова о развертке, мы знаем, что выпуклый многогранник существует. По теореме Коши---Александрова, он единственный. Возникает вопрос: каков он? Легко определить на развертке вершины многогранника. Каждому ребру на многограннике соответствует кратчайшая, соединяющая какие-то вершины. Но не все кратчайшие, соединяющие вершины, являются ребрами. Определить, какие пары вершин на развертке соединяются ребрами, --- очень трудная, нерешенная задача.

Следующий раздел