�������� ���� �� ���� ��������� ������. ����� ������������� ��������� : http://www.mrao.cam.ac.uk/~krause/diplomarbeit.ps.gz ���� ���������: Mon Feb 14 22:16:34 2005 ���� ��������������: Fri Dec 21 23:06:05 2007 ���������: ��������� �����: annular solar eclipse

Fakult� at f� ur Physik und Astronomie
Ruprecht�Karls�Universit� at Heidelberg
Diplomarbeit
im Studiengang Physik
vorgelegt von
Martin Krause
aus Mannheim
1998


Dynamik elektromagnetischer Felder
im Au�enraum der Schwarzschildmetrik
Die Diplomarbeit wurde von Martin Krause ausgef� uhrt an der
Landessternwarte Heidelberg�K� onigstuhl
unter Betreuung von
Herrn Prof. Max Camenzind
Zweitgutachter:
Prof. Immo Appenzeller
Landessternwarte Heidelberg�K� onigstuhl


Denn wir sehen jetzt mittels eine Spiegels, undeutlich, dann aber von
Angesicht zu Angesicht. Jetzt erkenne ich st� uckweise, dann aber werde
ich erkennen, wie auch ich erkannt worden bin.
(1.Brief des Paulus an die Korinther Kapitel 13, Vers 12)


Zusammenfassung
Die elektrodynamischen Ph� anomene in der N� ahe des Horizontes Schwarzer L� ocher wer�
den untersucht. Dazu wird die Laplacegleichung vollst� andig und die Wellengleichung
weitgehend analytisch mit Schwarzschildhintergrundmetrik gel� ost. Es ergibt sich eine
detaillierte Kenntnis der Schwingungszust� ande in jeder Multipolordnung. Diese Schwin�
gungen besitzen am Horizont eine fraktale Natur, was durch eine analytische N� ahe�
rungsl� osung, die f� ur Horizontn� ahe g� ultig ist, gezeigt wird. Als Nebenprodukt ist durch
die L� osung der Laplacegleichung die Grundlage zur Behandlung von Randwertproble�
men der Statik geschaffen.
Dynamics of Electromagnetic Fields
in the Exterior Schwarzschild Metric
Abstract
Electrodynamic phenomena in the neighbourhood of the black hole horizon are exami�
ned. Therefore the analytical solution of Laplace's equation is achieved and the wave
equation is solved also mainly by analytical methods. The result is a detailed knowledge
of the oscillations in every multipole mode. Next to the horizon their nature becomes
fractal, which is shown by the analytically derived solution, that is valid in this region.
With the solution of Laplace's equation many electro� and magnetostatic problems are
now tackable.


Inhaltsverzeichnis
1 Astronomischer Hintergrund 11
1.1 Das AGN Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Bisherige Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Ziel dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Cartan'scher Formalismus 14
2.1 Definition von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 �
Au�eres Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Duale Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Basisdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Inneres Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Hodge Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 �
Au�ere Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Rotierende Schwarze L� ocher 17
3.1 Die Kerr'sche L� osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Nichtbewegte Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Starfixed System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2 ZAMO System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.3 Frame�Dragging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.4 Globales Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Der 3+1 Split der Maxwellgleichungen 24
4.1 Der 3+1 Split im allgemeinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Durchf� uhrung des Splits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Vereinfachung durch spezielle Eigenschaften der Kerr Metrik . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Achsensymmetrische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5 Die Dynamo�Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Magneto� und Elektrostatik im Schwarzschildraum 31
5.1 Allgemeine L� osung der Laplacegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.1 Feld einer Kugel mit beliebiger Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.2 Split Monopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Wellen im Schwarzschildfall 36
7 Ergebnisse 45
9

10 INHALTSVERZEICHNIS
A Mathematischer Teil 46
A.1 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.2 Die Funktionen der Kerr'schen Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.3 Die Lichtgeschwindigkeit in der N� ahe des Horizonts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.4 Wellengleichung f� ur das elektrische Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.5 Modifizierte Legendre Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Kapitel 1
Astronomischer Hintergrund
In dieser Arbeit werden die allgemein�relativistischen Gleichungen der Elektrodynamik bearbeitet.
Dabei wird als Hintergrund eine Schwarzschildmetrik angenommen, und eine Vacuumsituation
vorrausgesetzt. Die Resultate sind zum gro�en Teil analytisch.
1.1 Das AGN Model
Das Spektrum gew� ohnlicher Galaxien enth� alt, als �
Uberlagerung der Einzelsternspektren, aus�
schlie�lich Absorptionslinien. Aktive Galaxien zeigen au�erdem noch Emission. Ein weiteres Kri�
terium f� ur die Unterscheidung zwischen aktiven und passiven Galaxien ist die Leuchtkraft. Akti�
ve Galaxien sind im allgemeinen wesentlich heller als passive. Dieses Kriterium nutzt man auch
zur Differenzierung der aktiven Galaxien untereinander. Die Strahlungsleistung dieser Galaxien
ist so hoch, da� sie nicht mehr durch die Summe der in diesen Gebieten beobachteten Sterne
erkl� art werden kann. Als Energieerzeugungsmechanismus wird heutzutage die Akkretion auf ein
Schwarzes Loch im Zentrum der aktiven Galaxie, das etwa 10 6 bis 10 11 Sonnenmassen besitzt,
angenommen. Um dieses Loch herum postuliert man eine Akkretionsscheibe, und in Richtung der
Lochrotationsachse einen bipolaren Ausflu� (Jet). Diese Konfiguration ist bereits f� ur einige Systeme
beobachtet worden. Die Jets emittieren Synchrotronstrahlung, was auf die Existenz von Magnet�
feldern schlie�en l� a�t (siehe Abb.1.1). Diese Magnetfelder haben einen wesentlichen Einflu� auf die
Jetstruktur (siehe zum Beispiel: [Camenzind '91]), deren Entstehung und Kollimation. Die Ursa�
che der Magnetfelder ist noch nicht entschieden (siehe [Camenzind '98]). Es kommt hierf� ur zum
Beispiel ein gravitomagnetischer Dynamo in Frage ([Khanna & Camenzind '96], siehe aber auch
[Brandenburg '96]) oder auch Advektion � au�erer Felder durch das Plasma der Akkretionsscheibe.
Da das Schwarze Loch keine Materie abgeben kann, stammt das Jetmaterial aus der Scheibe. Die
Energie k� onnte � uber den Blandford�Znajek Mechanismus [Blandford & Znajek '77] aus der Ro�
tationsenergie des Loches bezogen werden. Dies k� onnte die Strahlungsleistung der Jets erkl� aren.
Es existieren Vermutungen dar� uber, da� der Jet im inneren hohl ist, und dort m� oglicherweise ein
Elektron�Positron�Plasma enth� alt, welches durch eine Polarisation des Vacuums in der N� ahe des
Loches (Gap) gespeist werden k� onnte. Auch diese Idee taucht bereits bei [Blandford & Znajek '77]
auf.
1.2 Bisherige Arbeiten
Um die Situation vollst� andig zu verstehen, ist eine allgemein�relativistische Behandlung der magneto�
hydrodynamischen Gleichungen erforderlich. Dies ist eine schwierige Aufgabe, und bisher ungel� ost.
Die vorhandenen Arbeiten machen daher immer vereinfachende Annahmen. Zum Beispiel kann
man f� ur die Bildung der Scheibe die Existenz von Magnetfeldern in einer ersten N� aherung ver�
nachl� assigen. Zur Formulierung und L� osung dieser Aufgabe sind bereits bedeutende Fortschritte
11

12 KAPITEL 1. ASTRONOMISCHER HINTERGRUND
w
BH
w L
~
Y(R,Z)
~ L
R jet
DISK
L
R
R jet (Z)
Abbildung 1.1: Szenario des Kerns einer aktiven Galaxie (AGN). Dargestellt ist die Scheibe (DISK), das
Schwarze Loch (BH), innerer und � au�erer Lichtzylinder (gepunktet, ~
!L , nicht Thema dieser Diskussion),
der Radius des Jets (RJet) und die Magnetfeldlinien. Das obere Teilbild besitzt eine gr� o�ere Skala. Man
sieht die dipolare Struktur des Feldes sowie die Advektion der Feldlinien durch die Scheibe. Das Bild
stammt aus [Fendt '97].
erzielt worden (siehe [Peitz & Appl '98]). Eine andere Herangehensweise an das Problem ist, Schei�
be und Jet als gegeben hinzunehmen, und station� are L� osungen f� ur das Magnetfeld zu suchen. In
diesem Bereich existieren numerische L� osungen f� ur den Fall, da� die Plasmabewegung ausschlie��
lich von den Feldern verursacht wird (kr� aftefreies Szenario, [Fendt '97], Abb.1.1). Bei station� aren
Berechnungen stellt sich immer die Frage, ob der Endzustand in einem dynamischen Proze� � uber�
haupt erreicht wird, und wie lange dies gegebenenfalls dauert. Hierzu ist eine zeitabh� angige Be�
handlung der Maxwell'schen Gleichungen notwendig. Um eine effiziente Numerik zu gew� ahrleisten,
vernachl� assigt man hier in den bisherigen Arbeiten den Verschiebungsstrom. Dadurch treten in
den magnetischen Flu�gleichungen nur noch erste Ableitungen in der Zeit auf. Durch dieses Vor�
gehen kann man viel �
uber die Dynamik und die Struktur von Magnetosph� aren lernen. Allerdings
ist die Vernachl� assigung des Verschiebungsstroms in unmittelbarer N� ahe des Loches nicht sinnvoll.
Au�erdem wird das System dadurch parabolisch und damit nichtkausal.

1.3. ZIEL DIESER ARBEIT 13
1.3 Ziel dieser Arbeit
In dieser Arbeit sollten nun ebenfalls die Maxwell'schen Gleichungen in einem allgemein relati�
vistischen Kontext untersucht werden. Dabei war vorgesehen, besonderen Wert auf den Einflu�
des Verschiebungsstroms zu legen, der in den bisherigen Arbeiten vernachl� assigt wurde. Als neues
Feature erwartet man in den nun kausalen Gleichungen das Auftreten von elektromagnetischen
Wellen und Schwingungen der Magnetosph� are. Dabei best� unde im Prinzip die M� oglichkeit, da� die
bisher gefundenen L� osungen wesentlich gest� ort werden, und in einen neuen Endzustand �
ubergehen.
In der Literatur findet man prinzipiell zwei Wege, wie man an die eben formulierte Aufgabe her�
angehen kann. �
Altere Arbeiten sind meist im Newman�Penrose�Formalismus gehalten. In diesem
Formalismus sind die Wellengleichungen separierbar. Hier wurde in den 70er Jahren erheblicher
analytischer Scharfsinn investiert. Einige Ergebnisse sind bei [Teukolsky '73] zu finden. Diese sind
auch bei [Chandrasekhar '83] zitiert. Dort werden auch N� aherungen angegeben, die in dieser Ar�
beit, auf anderem Wege ebenfalls gefunden werden.
Heutzutage ist der Newman�Penrose�Formalismus nicht mehr gebr� auchlich. Stattdessen hat sich der
anschaulichere 3+1 Split eingeb� urgert, der in dieser Arbeit ebenfalls Verwendung findet. In diesem
neuen Formalismus sind nun, wie oben beschrieben, zahlreiche Arbeiten verfa�t worden. Dabei wur�
den haupts� achlich numerische Verfahren angewendet. Allerdings behandeln die vorhandenen Arbei�
ten die Maxwell'sche Theorie meist in nichtkausaler N� aherung. Eine Arbeit, die die vollen dynami�
schen Gleichungen im Vacuum und in Schwarzschildmetrik untersucht, ist [Macdonald & Suen '85].
Auch hier wird der Kern des Problems numerisch gel� ost.
Die vorliegende Arbeit baut im Prinzip auf das Beispiel von [Macdonald & Suen '85] auf. In den
ersten drei Kapiteln werden zun� achst einige der verwendeten mathematischen Methoden erkl� art,
die Eigenschaften der Kerr'schen L� osung der Einstein�Gleichung besprochen und der 3+1 Split der
Maxwelltheorie auf einer Kerr�Hintergrundmetrik besprochen. Nach diesen vorbereitenden Kapi�
teln wird die Dynamik der Schwingungsmoden der elektromagnetischen Wellen im Schwarzschildfall
detailliert untersucht. Die Ergebnisse sind weitgehend analytischer Natur. Zun� achst wird eine Mul�
tipolentwicklung durchgef� uhrt. Da die Maxwell�Gleichungen verschiedene Multipolordnungen nicht
untereinander mischen, kann die dynamische Untersuchung nun getrennt f� ur jede Multipolordnung
geschehen. F� ur das assymptotische Verhalten werden voll analytische L� osungen angegeben, die sich
mit den Ergebnissen von [Teukolsky '73] decken. F� ur die globale Integration des radialen Teils der
Wellengleichung wird jedoch auch in dieser Arbeit ein Runge�Kutta�Verfahren angewandt.
Zu Beginn dieser Arbeit ging ich davon aus, das Problem mit gr� o�erem Schwerpunkt auf die Nu�
merik in einem allgemeineren Kerr�Hintergrund zu bearbeiten. Deshalb sind einige Diskussionen
bereits f� ur diesen Fall g� ultig.
Eine Bemerkung zu den Einheiten: In dieser Arbeit gilt G=c=1. Meistens ist au�erdem M = 1
gesetzt, was aber an den betreffenden Stellen angegeben ist.

Kapitel 2
Cartan'scher Formalismus
F� ur die Arbeit mit antisymmetrischen Tensoren ist der Cartan'sche Formalismus besonders geeig�
net. Hierf� ur bietet er eine Vielzahl von Verkn� upfungsm� oglichkeiten. Der Faraday'sche Tensor ist
antisymmetrisch. Deshalb kann man den Cartan'schen Formalismus hier sinnvoll einsetzen. Mit�
tels der in diesem Kapitel geschaffenen Grundlagen wird in Kapitel 4 die Maxwell'sche Theorie
der Elektrodynamik f� ur die Kerr Geometrie abgeleitet werden. Es werden die in dieser Arbeit
ben� otigten Aspekte der Differentialgeometrie vorgestellt. F� ur eine umfassende Darstellung wird
auf [Straumann '84] verwiesen.
2.1 Definition von Differentialformen
Gegeben sei eine vierdimensionale Raumzeit. ~v sei ein Vektor des Tangentialraumes eines beliebigen
Punktes dieser Raumzeit. Eine lineare Funktion ~ ! , die einem solchen Vektor eine Zahl zuordnet,
~
!(~v) \Gamma! Zahl
hei�t 1�Form. Eine lineare Funktion, die p Vektoren eine Zahl zuordnet,
~
!(~v; ~
w; : : :) \Gamma! Zahl
hei�t p�Form oder
\Gamma 0
p
\Delta �Tensor.
Ein Vektor wirkt auf eine Form in � ahnlicher Weise. Eine lineare Funktion, die q 1�Formen auf eine
Zahl abbildet,
~v(~! 1 ; ~
! 2 ; : : :) \Gamma! Zahl
hei�t Multivektor q�ter Stufe oder
\Gamma q
0
\Delta �Tensor. Ein
\Gamma 1
0
\Delta �Tensor ist also ein gew� ohnlicher Vektor.
Allgemein ist ein
\Gamma q
p
\Delta �Tensor eine lineare Funktion, die q 1�Formen und p Vektoren auf eine Zahl
abbilden. Ein Beispiel f� ur eine 1�Form ist die Energie�Impuls 1�Form. Die Energie eines Teilchens
bez� uglich eines Beobachters ist ein Lorentz�Skalar:
p Teilchen � U Beobachter � = E Teilchen
Im Rahmen des Cartan'schen Formalismus betrachtet man p � als 1�Form, welche auf die 4�er
Geschwindigkeit des Beobachters angewandt die Zahl Energie ergibt. Auf die nun eingef� uhrten
Objekte erkl� art man Operationen wie folgt:
2.2 �
Au�eres Produkt
Gegeben seien zwei beliebige Differentialformen \Gamma und \Delta und ihre Argumente c bzw. d. Sie werden
verkn� upft durch:
(\Gamma\Omega \Delta)(c; d) = \Gamma(c) \Delta(d)
14

2.3. DUALE BASIS 15
Falls der Zusammenhang klar ist, wird in dieser Arbeit
das\Omega Symbol weggelassen. Antisymmetri�
siert man diese Operation, so erh� alt man das � au�ere Produkt:
\Gamma � \Delta = 1
p!q! P
[\Gamma\Omega \Delta]
P steht dabei f� ur die Summe � uber alle Permutationen der Argumente des zu permutierenden
Tensors mit ungeradem Vorzeichen bei ungerader Permutation. p und q sind die Tensorstufen. Das
``Hut''�Symbol spricht man ``wedge''.
F� ur zwei 1�Formen erh� alt man:
\Gamma � \Delta =
\Gamma\Omega \Delta \Gamma
\Delta\Omega \Gamma
Bei skalaren geht das � au�ere Produkt in das gew� ohnliche Produkt � uber.
2.3 Duale Basis
Die m� oglichen 1�Formen zu einem gegebenen Tangentialraum bilden wieder einen Vektorraum.
Dieser hei�t Kotangentialraum. Sind ~e fi die Basisvektoren des Tangentialraumes, so ist die duale
Basis ~
j ff des Kotangentialraumes durch folgende Gleichung definiert:
~
j ff (~e fi ) = ffi ff
fi
Dabei ist ffi ff
fi das Kroneckersymbol.
2.4 Basisdarstellung
Beliebige Tensoren lassen sich durch ihre Wirkung auf eine Basis definieren. F� ur einen
\Gamma 0
2
\Delta �Tensor
g ergibt sich zum Beispiel:
Zahl = g(~x; ~y) = g(x i ~e i ; y j ~e j ) = x i y j g(~e i ; ~e j )
g selbst kann man durch eine 2�Form Basis, die man wiederum aus einer 1�Form Basis aufbauen
kann, darstellen:
g = g kl \Theta kl = g kl ` k � ` l
;
g(~e i ; ~e j ) = g kl ` k (~e i ) � ` l (~e j )
Handelt es sich um ein duales Basispaar, so gilt:
` k (~e i ) = ffi k
i
;
g(~e i ; ~e j ) = g ij
2.5 Inneres Produkt
Die Verallgemeinerung des Skalarprodukts ordnet einem Vektor und einer p�Form eine (p�1)�Form
zu. Das geschieht, indem man den Vektor in das erste Argument der p�Form einsetzt. F� ur das
innere Produkt zwischen einer 1�Form ~
! und einem Vektor ~v ergibt sich:
i ~v ~ ! = ~
!(~v)
F� ur ein duales Basispaar erh� alt man:
i ~v ~
! = ~v i ~
! i
F� ur Tensoren erster Stufe reduziert sich der Formalismus damit auf die Schreibweise mit ko� und
kontravarianten Vektoren, der sich in der speziellen Relativit� atstheorie eingeb� urgert hat. Mit der
Definition des � au�eren Produkts erkennt man:
i ~v (~! 1 � ~ ! 2 ) = (i ~v ~ ! 1 ) � ~
! 2 \Gamma ~
! 1 � (i ~v ~
! 2 ) (2.1)

16 KAPITEL 2. CARTAN'SCHER FORMALISMUS
2.6 Hodge Dual
Das Hodge Dual ist eine Operation auf Differentialformen, die die Komponenten der Form neu
gruppiert. Zum Beispiel hat ein total antisymmetrischer Tensor vierter Stufe nur eine nichtver�
schwindende Komponente. Das Hodge Dual bildet diesen Tensor auf einen Skalar ab. Die allgemeine
Definition f� ur einen n�dimensionalen Vektorraum und eine Form ff der Stufe p lautet:
(\Lambdaff) k1 :::k n\Gammap = ff i 1 :::i p ffl i 1 :::i p k1 :::k n\Gammap (2.2)
Dabei ist ffl der total antisymmetrische Tensor n�ter Stufe, der in einem Minkowski�Raum in das
Levi�Civita�Symbol � ffl � ubergeht:
�ffl abc::: =
8 !
:
\Gamma1 antizyklische Indizes
0 sonst
1 zyklische Indizes
2.7 �
Au�ere Ableitung
Die � au�ere Ableitung einer skalaren Funktion ist die Gradienten 1�Form. Sie ist durch ihre Wirkung
auf Vektoren definiert. Sei f eine skalare Funktion, X ff (�) eine Kurve und d
d� ihr Tangentialvektor.
Dann ist durch:
df( d
d� ) := @f
@X ff
dX ff
d�
die Gradienten 1�Form df definiert. Sie wird auch als � au�ere Ableitung bezeichnet. F� ur Differenti�
alformen h� oherer Stufe legt man die � au�ere Ableitung induktiv fest. Da man jede antisymmetrische
Differentialform durch das � au�ere Produkt aus Formen niedrigerer Stufe aufbauen kann, gen� ugt
folgende Definition:
d(ff � fi) = dff � fi + (\Gamma1) p ff � dfi
p ist dabei die Stufe von ff. F� ur die Anwendung erweisen sich folgende Formeln als besonders
hilfreich:
d=dx i � @
@x i (2.3)
d 2 =0 (2.4)
Hier sind @
@x i die Ableitungen nach den Koordinaten und dx i ist die duale Basis des Kotangenti�
alraumes.

Kapitel 3
Rotierende Schwarze L� ocher
Rotierende Schwarze L� ocher sind eine Konsequenz der Einsteingleichung. R.P.Kerr fand dies zuerst
heraus [Kerr '63]. Seine bekannte L� osung wird in diesem Kapitel analysiert.
3.1 Die Kerr'sche L� osung
Die Eigenschaften der Raumzeit werden durch die Metrik bestimmt. Unter Metrik versteht man
die Zuordnung einer skalaren Gr� o�e (Abstand) zu zwei Vektorgr� o�en (Orten). Die Metrik ist also
ein
\Gamma 0
2
\Delta �Tensor:
g = g �� ` � � ` �
Die Einsteingleichung besagt nun, da� Masse den Raum kr� ummt. Formal bedeutet das:
G = 8�T (3.1)
Hier repr� asentiert der Energie�Impuls�Tensor T die Massenverteilung, und der Einstein�Tensor
G, der sich aus den zweiten Ableitungen der Metrik zusammensetzt, die Raumkr� ummung. Kerr
l� oste diese Gleichung f� ur eine station� are achsensymmetrische Raumzeit im Vakuum. Eine moderne
Herleitungfindet sich bei [Chandrasekhar '83]. Dort wird von einer toroidal rotierenden r� aumlich
begrenzten felderzeugenden Materieverteilung ausgegangen, was Symmetrien in der Metrik im�
pliziert. Man verwendet Boyer�Lindquist Koordinaten. Diese sind bez� uglich weit von der Masse
entfernter Beobachter raumfest und als Kugelkoordinaten definiert. Au�erdem geht man von der
Existenz eines Horizontes aus, wie er schon bei der Schwarzschildl� osung auftritt. Die Annahmen
im �
Uberblick:
Au�enraum leer ! T = 0
Achsensymmetrie ! @g
@OE = 0
Stationarit� at ! @g
@t = 0
Quelle rotiert azimutal ! g(t; OE) = g(\Gammat; \GammaOE)
Horizont bei r H = M +
p
M 2 \Gamma a 2 ! Randbedingung
Die resultierende Metrik hat die Komponenten:
g �� =
0
B B @
\Gammaff 2 + ~
! 2 ! 2 0 0 \Gamma ~
! 2 !
0 \Sigma
\Delta 0 0
0 0 \Sigma 0
\Gamma ~
! 2 ! 0 0 ~ ! 2
1
C C A (3.2)
ff; ~
!; !; \Sigma und \Delta sind Funktionen von r und `. Sie werden im Anhang angegeben.
17

18 KAPITEL 3. ROTIERENDE SCHWARZE L �
OCHER
Der hier zugrundeliegende Tangentialraum wird durch Vektorbasis
f~e t ; ~e r ; ~e ` ; ~e OE g
aufgespannt. Mittels der dualen Basis,
fdt; dr; d`; dOEg
kann man g folgenderma�en schreiben:
g = \Gammaff 2 dt 2 + ~ ! 2 (dOE \Gamma ! dt) 2 + \Sigma
\Delta dr 2 + \Sigma d` 2
Hier bietet sich als nat� urliche Basis f� ur 1�Formen
\Theta �
� = fffdt; dr; d`; dOE \Gamma !dtg (3.3)
an. Diese Basis kann orthonormiert werden:
\Theta �
� =
(
\Theta � t ;
r
\Sigma
\Delta \Theta � r ;
p
\Sigma\Theta �
` ; ~
!\Theta �
OE
)
(3.4)
Die zu dieser 1�Form Basis duale Vektorbasis ist:
f~e �
� g =
(
~e � t = 1
ff (~e t \Gamma !~e OE );
r
\Delta
\Sigma ~e r ;
1
p
\Sigma
~e ` ;
1
~
! ~e OE
)
(3.5)
Au�er diesem global orthonormalen Basispaar kann man noch ein Basispaar definieren, welches
nur bez� uglich des 3�dimensionalen (r; `; OE) Unterraums orthonormal ist:
f` � g=fdt;
r
\Sigma
\Delta dr;
p
\Sigmad`; 1
!
dOEg (3.6)
f~e �
� g=
(
~e t ;
r
\Delta
\Sigma ~e r ; 1
p
\Sigma
~e ` ; 1
~
!
~e OE
)
(3.7)
Alle diese Basispaare sind dual zueinander.
Basispaar Eigenschaften Name
fdt; dr; d`; dOEg
f~e t ; ~e r ; ~e ` ; ~e OE g
Koordinatenbasis Starfixed
f\Theta � � g =
n
\Theta � t ;
q
\Sigma
\Delta \Theta �
r ;
p
\Sigma\Theta �
` ; ~
!\Theta �
OE
o
f~e � � g =
n
~e � t = 1
ff (~e t + !~e OE );
q
\Delta
\Sigma ~e r ; 1
p
\Sigma ~e ` ; 1
~ ! ~e OE
o Orthonormalbasis ZAMO
f` � g = fdt;
q
\Sigma
\Delta dr;
p
\Sigmad`; 1
! dOEg
f~e � � g =
n
~e t ;
q
\Delta
\Sigma ~e r ; 1
p
\Sigma ~e ` ; 1
~
! ~e OE
o orthonormiert im 3�Raum Starfixed�ON3
Die Bezeichnung ZAMO wird weiter unten erkl� art. Zwischen der ZAMO�1�Form�Basis und der
Starfixed�ON3�1�Form�Basis besteht folgender Zusammenhang:
\Theta 0 =ff dt (3.8)
\Theta i =` i i = 1; 2 (3.9)
\Theta 3 =` 3 \Gamma ! dt (3.10)
Hier werden, wie in der restlichen Arbeit auch, die Indizes f0; 1; 2; 3g alternativ zu ft; r; `; OEg
verwendet.

3.2. NICHTBEWEGTE BEOBACHTER 19
3.2 Nichtbewegte Beobachter
Ein nichtpathologischer Beobachter hat eine zeitartige Weltlinie W, das hei�t:
g(W; W ) � 0
Die Weltlinie eines ruhenden Beobachters, verl� auft in Richtung der Zeitachse. Hier soll nun unter�
sucht werden, ob, und wo es in den im vorigen Kapitel definierten Systemen Beobachter mit diesen
Eigenschaften gibt.
3.2.1 Starfixed System
In diesem System hat die Weltlinie eines ruhenden Beobachters die Form:
W = �~e t
� ist ein Proportionalit� atsfaktor. Mit diesem Vektor wertet man nun die Zeitartigkeitsbedingung
aus:
0 � g(�~e t ; �~e t ) = � 2 g(~e t ; ~e t ) = � 2 (\Gammaff 2 + ~
! 2 ! 2 ) = � 2
`
1 \Gamma 2Mr
r 2 + a 2 cos 2 `
'
Diese Bedingung nach r aufgel� ost ergibt:
r ? M +
p
M 2 \Gamma a 2 cos 2 ` def = r E
Diese Fl� ache f� allt an den Polen mit dem Horizont zusammen, liegt aber f� ur a 6= 0 au�erhalb
des Horizonts. Zwischen ihr und dem Horizont existiert also kein ruhender, nichtpathologischer
Beobachter. Man nennt dieses Gebiet Ergosph� are.
3.2.2 ZAMO System
ZAMO steht f� ur 'Zero Angular Momentum Observer'. Aus der Tatsache, da� die Kerr Metrik
nicht von t und OE abh� angt, folgt, da� bei der Integration der Bewegungsgleichungen zwei Inte�
grationskonstanten auftreten. Es handelt sich dabei um Energie und Drehimpuls. Das sind die t
beziehungsweise OE Komponenten der 4�er�Impuls�1�Form. Der Name ZAMO impliziert nun, da�
die besagte Komponente f� ur einen Beobachter mit Weltlinie in Richtung der ZAMO�Zeitachse
verschwindet. Dieser Beobachter hat also folgende Weltlinie:
W = �~e � t = �
ff (~e t + !~e OE )
Die Definition der 4�er�Impuls�1�Form ~
P ist:
~
P = flm ~
U
fl ist der Lorentzfaktor, m die Masse und ~
U die 4�er�Geschwindigkeits�1�Form des Beobachters.
Analog zum �
Ubergang zwischen ko� und kontravarianter Schreibweise wandelt man einen Vektor
in eine 1�Form um, indem man ihn in die Metrik einsetzt. Der Metrik fehlt dann noch ein weiteres
Argument, um eine Zahl zu produzieren. Es ist also eine 1�Form entstanden. Die 4�er�Impuls�1�
Form berechnet sich wie folgt:
~
P = flm ~
U = flm g(W ) = flm g( �
ff
(~e t + !~e OE )) = �flm
ff
g(~e t + !~e OE )
Mit
g = \Gammaff 2 dt 2 +~! 2 (dOE\Gamma!dt) 2 + \Sigma
\Delta dr 2 +\Sigmad` 2 = (\Gammaff 2 +~! 2 ! 2 )dt dt+~! 2 dOE dOE\Gamma ~
! 2 !dt dOE\Gamma ~
! 2 !dOE dt+ \Sigma
\Delta dr 2 +\Sigmad` 2

20 KAPITEL 3. ROTIERENDE SCHWARZE L �
OCHER
folgt:
~
P = �flm
ff [(\Gammaff 2 + ~ ! 2 ! 2 )dt dt + ~
! 2 dOE dOE \Gamma ~
! 2 !dt dOE \Gamma ~ ! 2 !dOE dt + \Sigma
\Delta dr 2 + \Sigmad` 2 ](~e t + !~e OE )
= �flm
ff [(\Gammaff 2 + ~ ! 2 ! 2 )dt \Gamma ~
! 2 !dOE + ~
! 2 !dOE \Gamma ~
! 2 ! 2 dt
= \Gamma�flffm dt
Die OE Komponente der ZAMO�4�er�Impuls�1�Form verschwindet also, womit gezeigt ist, da� der
ZAMO tats� achlich keinen Drehimpuls besitzt. Da die Energie des ZAMO's konstant bleiben mu�,
erh� alt man als Nebenprodukt seinen Lorentzfaktor:
fl = 1
ff :
3.2.3 Frame�Dragging
Die Tatsache, da� der in OE�Richtung rotierende ZAMO bis zum Horizont eine zeitartige Weltlinie
besitzt, deutet darauf hin, da� Beobachter innerhalb der Ergosph� are angedreht werden. Dies ist
tats� achlich der Fall. Man zeigt das folgenderma�en: Analog zum ZAMO, der mit der Winkelge�
schwindigkeit !(r; `) rotiert, l� a�t sich ein Beobachter definieren, der mit beliebiger Geschwindigkeit
\Omega rotiert. Seine Weltlinie ist:
W = 1
ff (~e t
+\Omega ~e OE )
Dieser Vektor mu� zeitartig bleiben. Der Grenzfall wird gerade erreicht, wenn er lichtartig wird:
0 = g
` 1
ff (~e t
+\Omega ~e OE ); 1
ff (~e t
+\Omega ~e OE )
'
= 1
ff 2
\Gamma
\Gammaff 2 + ~
! 2 ! 2 \Gamma 2~! 2
!\Omega + ~
!
2\Omega 2
\Delta
Dies ist eine quadratische Gleichung f� ur \Omega\Gamma Man erh� alt zwei reelle L�
osungen\Omega \Sigma . F� ur \Omega\Gamma/ erte
zwischen diesen L� osungen sind die Beobachter zeitartig.
\Omega \Gamma
!\Omega !\Omega +
\Omega \Sigma = ! \Sigma ff
~
!
Dieses Ph� anomen kann man so verstehen, da� der gesamte Raum um das Loch mit diesem rotiert.
Am Horizont selbst mu� jeder Beobachter mit
\Omega H = !(rH ; `) = !(rH ); r H = M +
p
M 2 \Gamma a 2
rotieren. Das folgt allerdings nicht, wie es zun� achst den Anschein hat, aus obiger Gleichung, sondern
aus der Drehimpulserhaltung (Siehe Gleichung (D.13) in [Peitz '98]). Die hier diskutierte Winkelge�
schwindigkeit geht zwar ebenfalls gegen !H , dies ist aber eine Folge der Geschwindigkeitsmessung
bez� uglich der Zeit im Unendlichen. Der Effekt hei�t Frame�Dragging. Schon hier kann man sehen,
da� die Winkelgeschwindigkeit von m� oglichen Beobachtern am Horizont um ! zentriert ist.
Etwas � ahnliches tritt auch bei den anderen beiden Richtungen auf. Wie im Anhang gezeigt, ist
die Geschwindigkeit bez� uglich des Orthonormalsystems und der Zeit im Unendlichen, in r�, bzw.
`�Richtung durch
v � r ; v �
` 2 [\Gammaff; ff]
beschr� ankt. In [ TPM '86] wird diese Situation ``The freezing of physics near the horizon'' genannt.
3.2.4 Globales Bild
Diese Ergebnisse lassen sich zu folgendem Bild zusammenf� ugen: Au�erhalb der Ergosph� are kann
ein Beobachter seine r, ` und OE Koordinaten konstant halten. Innerhalb dieses Limits existiert kein
nichtrotierender Beobachter mehr. Allerdings bleibt der ZAMO, der mit der Winkelgeschwindigkeit

3.2. NICHTBEWEGTE BEOBACHTER 21
!(r; `) rotiert, zeitartig bis zum Horizont. !(r; `) geht f� ur gro�e r gegen 0. Ein mit Drehimpuls 0
einfallender Beobachter wird also relativ zum Starfixed System in Rotation versetzt. Die Lichtge�
schwindigkeit in OE�Richtung ist unterschiedlich f� ur mit� bzw. gegenrotierende Beobachter. Am Ho�
rizont mu� ein station� arer Beobachter mit der lokalen
Lichtgeschwindigkeit\Omega H rotieren, und kann
sich relativ zum Horizont nicht bewegen.
�0.2
�0.1
0
0.1
0.2
2 5 8 11
r/M
Abbildung 3.1: Maximal m� ogliche Winkelgeschwindigkeit f� ur Rotation mit dem
Loch(\Omega + (obere Kurve)),
gegen die
Lochrotationsrichtung(\Omega \Gamma (untere Kurve)) und Winkelgeschwindigkeit des ZAMOs (! (mittlere
Kurve)) � uber dem Gravitationsradius r
M f� ur a = 0 (Schwarzschildfall). Alle Parameter streben f� ur r !1
gegen 0.

22 KAPITEL 3. ROTIERENDE SCHWARZE L �
OCHER
�0.8
�0.4
0
0.4
0.8
2 5 8 11
r/M
Abbildung 3.2: Maximal m� ogliche Geschwindigkeit in OE�Richtung f� ur Rotation mit dem
Loch(\Omega + ~
!(=
+ff) (obere Kurve)), gegen die Lochrotationsrichtung
(~!\Omega \Gamma (= \Gammaff) (untere Kurve)) und Geschwindigkeit
des ZAMOs (~!! (mittlere Kurve)) � uber dem Gravitationsradius r
M f� ur a = 0 (Schwarzschildfall). Die
Parameter ~
!\Omega + und ~
!\Omega \Gamma streben gegen \Sigma1, was der Lichtgeschwindigkeit in den hier gew� ahlten Einheiten
(G=c=1) entspricht. F� ur Bewegung in r\Gamma und `\GammaRichtung ergibt sich das gleiche Bild.
�0.2
0
0.2
0.4
0.6
2 4 6 8 10
r/M
Abbildung 3.3: Maximal m� ogliche Winkelgeschwindigkeit f� ur Rotation mit dem
Loch(\Omega + (obere Kurve)),
gegen die
Lochrotationsrichtung(\Omega \Gamma (untere Kurve)) und Winkelgeschwindigkeit des ZAMOs (! (mittlere
Kurve)) �
uber dem Gravitationsradius r
M f� ur a = 1 . Alle Parameter streben f� ur r !1 gegen 0.

3.2. NICHTBEWEGTE BEOBACHTER 23
�1
�0.5
0
0.5
1
2 4 6 8 10
r/M
Abbildung 3.4: Maximal m� ogliche Geschwindigkeit in OE�Richtung f� ur Rotation mit dem
Loch(\Omega + ~
! (obere
Kurve)), gegen die
Lochrotationsrichtung(\Omega \Gamma ~
! (untere Kurve)) und Geschwindigkeit des ZAMOs (!~!
(mittlere Kurve)) � uber dem Gravitationsradius r
M f� ur a = 1 . F� ur r ! 1 geht die Geschwindigkeit des
Zamos gegen 0. Die anderen beiden Parameter streben gegen \Sigma1, was der Lichtgeschwindigkeit in den hier
gew� ahlten Einheiten (G=c=1) entspricht.

Kapitel 4
Der 3+1 Split der
Maxwellgleichungen
In diesem Kapitel soll die Reduktion der Maxwell'schen Gleichungen von der tensoriellen Schreib�
weise auf die Komponentenschreibweise im 3+1 Split durchgef� uhrt werden. Dazu werden die Felder
in einem speziellen Koordinatensystem � dem ZAMO System � definiert, und unter Verwendung
des Cartan'schen Formalismus' in horizontale und nicht�horizontale Anteile zerlegt. Im zweiten
Abschnitt wird der Split zun� achst f� ur beliebige Raumzeiten durchgef� uhrt, w� ahrend im dritten
Teil die speziellen Eigenschaften der Kerr�Metrik einflie�en, wodurch die Gleichungen wesentlich
vereinfacht werden.
4.1 Der 3+1 Split im allgemeinen
Die Raumzeit � aus der Sicht der allgemeinen Relativit� atstheorie � ist ein 4�dimensionales, statisches
Gebilde. Die absolute Zeit, die in der klassischen Physik f� ur Bewegung sorgt, ist hier nur einer der
vier Parameter, welche die Mannigfaltigkeit beschreiben. Diese Beschreibung ist der physikalischen
Intuition schwer zug� anglich. Der 3+1 Split versucht, hier Abhilfe zu schaffen. Die Idee ist folgen�
de: Wenn die physikalischen Gesetze in der 4�dimensionalen Form bekannt sind, kann man einen
absoluten 3�Raum und eine Zeitrichtung festlegen. Nun zerlegt man die Gesetze in Komponenten,
die in diesem 3�Raum liegen (horizontaler Anteil), und solche, die nicht in diesem Raum liegen.
Einen allgemeinen metrischen Tensor k� onnte man beispielsweise so zerlegen:
g = g �� dx � dx � := \Gammaff 2 (dx 0 ) 2 + h ij (dx i + fi i dt) (dx j + fi j dt)
Griechische Indices laufen von 0 bis 3, lateinische von 1 bis 3. ff und fi i sind an dieser Stelle
beliebige Funktionen, welche mit den Komponenten des metrischen Tensors durch
\Gammaff 2 + h ij fi i fi j =g 00
h ij fi j =g 0i = g i0
h ij =g ij
zusammenh� angen. Definiert man nun
~
dx i
= dx i + fi i dt;
so erh� alt man die noch ohne Einschr� ankung allgemeine Form der Metrik:
g = \Gammaff 2 (dx 0 ) 2 + h ij ~
dx i ~
dx j
24

4.2. DURCHF �
UHRUNG DES SPLITS 25
Diese Form der Metrik enth� alt keine g 0i Komponenten. Deshalb kann man h ij als Metrik des Ab�
solutraums betrachten. ff hei�t Rotverschiebungsfaktor und fi = fi i ~e i , wobei ~e i durch dx j ~e i = ffi j
i
definiert ist, Verschiebungsvektor. Im Kerr Fall ist diese Beschreibung besonders einfach. Das in
diesem Abschnitt verwendete ff kann mit dem Rotverschiebungsfaktor ff der Kerrmetrik identifi�
ziert werden. fi hat nur die Komponente fi 3 = \Gamma!. Die resultierende Form der Metrik wurde schon
besprochen. In diesem Kapitel soll nun der Split der Maxwell'schen Gleichungen in horizontale und
nicht horizontale Anteile durchgef� uhrt werden.
4.2 Durchf� uhrung des Splits
Die Maxwell'schen Gleichungen haben in koordinatenfreier Schreibweise die Form:
dF =0 (4.1)
d \Lambda F = \Gamma4� \Lambda J (4.2)
Dabei ist F die Faraday 2�Form und J der 4�er Strom. Im ZAMO�System definiert man die Faraday
2�Form wie folgt:
F = E i \Theta i � \Theta 0 + 1
2 B ij \Theta i � \Theta j (4.3)
i und j k� onnen die Werte 1,2 und 3 annehmen. \Theta � ist die im 3�Raum orthonormierte 1�Formbasis
des ZAMOs. Sie wurde in den Gleichungen (3.8) bis (3.10) durch die 1�Formbasis des asymptotisch
flachen Raumes (starfixed System) ausgedr� uckt:
\Theta 0 =ff dt
\Theta i =` i + fi i dt
Ber� ucksichtigt man dies in (4.3), so erh� alt man:
F = (E i ` i +E i fi i dt) � (ff dt) + 1
2 B ij (` i � ` j + fi i dt � ` j + ` i � fi j dt)
Nutzt man fi i = i fi ` i und Gleichung (2.1), so folgt:
F = B + (ffE \Gamma i fi B) � dt (4.4)
Dabei ist B = 1
2 B ij ` i � ` j und E = E i ` i . Setzt man dies in Gleichung (4.1) ein, und verwendet
(2.3) so ergibt sich:
dB + dt � @
@t
B + d(ffE) � dt \Gamma d(i fi B) � dt = 0 (4.5)
Auf diese Gleichung f� uhrt man die Operation �dt aus. Da dt � dt laut Definition verschwindet,
erh� alt man die beiden Gleichungen:
dB = 0 (4.6)
und
@
@t B + d(ffE) = d(i fi B) (4.7)
Gleichung (4.6) macht eine Aussage � uber einen antisymmetrischen Tensor dritter Stufe. Dieser
Tensor ist im 3�Raum definiert. Das bedeutet, er hat genau eine unabh� angige Komponente. Diese
erh� alt man durch Bildung des Hodge Duals:
?dB = ?((` k � @
@x k )( 1
2 B ij ` i � ` j )) = 1
2
@
@x k B ij ffl ijk
Mit der � ublichen Magnetfelddefinition, B 12 = (B) 3 , etc. reduziert sich Gleichung (4.6) zu:
divB = 0 (4.8)

26 KAPITEL 4. DER 3+1 SPLIT DER MAXWELLGLEICHUNGEN
Gleichung (4.7) dr� uckt eine Beziehung zwischen 2�Formen aus. Durch Bildung des 3�Raum Hodge
Duals erh� alt man also eine Vektorgleichung. Die einzelnen Teile transformieren sich folgenderma�
�en:
?B=B
?d(ffE) = ?((` k � @
@x k )(ffE i ` i ))= @
@x k (ffE i )ffl kij = rot(ffE)
Damit wird aus (2.6):
@
@t
B+ rot(ffE) = ?d(i fi B) (4.9)
F� ur den Ausdruck auf der rechten Seite von Gleichung (4.9) wird in der achsensymmetrischen
Behandlung ein einfacher Ausdruck gefunden werden.
Um Gleichung (4.2) auszuwerten, ben� otigt man die duale Form des Faraday�Tensors und des Stro�
mes:
\LambdaF = \Lambda(E i \Theta i � \Theta 0 ) + \Lambda( 1
2 B ij \Theta i � \Theta j ) (4.10)
Der erste Teil hat die Komponenten E i0 und E 0i . Die Komponenten des dualen Tensors sind nach
(2.2):
\Lambda(E i \Theta i � \Theta 0 ) jk = g ffi g fi0 E i0 ffl fffijk = E i0 ffl i0
jk
def
= 1
2 D jk
Den zweiten Teil von (4.10) erh� alt man wie folgt:
\Lambda( 1
2 B ij \Theta i � \Theta j ) �� = 1
2 g ffi g fij B ij ffl fffi�� = 1
2 (B ij ffl ij
0k +B ij ffl ij
k0 ) = \Gamma(B) k
Das ergibt f� ur den dualen Faraday�Tensor:
\LambdaF = \Gamma(B) i \Theta i � \Theta 0 + 1
2 D jk \Theta j � \Theta k (4.11)
Dies ist analog zu (4.3), und man erh� alt durch � ahnliche Umformungen:
\LambdaF = D \Gamma (ffH + i fi D) � dt (4.12)
Dabei sind D = 1
2 D ij ` i � ` j und H = (B) i ` i . Die zur Strom 1�Form duale 3�Form ergibt sich zu:
\LambdaJ = \Lambda(ae\Theta 0 + j k \Theta k )
Hier ist ae die Ladungsdichte und j die Stromdichte. Nach Ausf� uhrung der Dualit� atsoperation und
Einsetzen der 1�Formbasis des asymptotisch flachen Raumes folgt mit ~
ae = ae ` 1 � ` 2 � ` 3 und
J = ?(j k ` k ):
\LambdaJ = ~
ae + (i fi ~
ae \Gamma ffJ ) � dt: (4.13)
Diese Ergebnisse k� onnen nun in Gleichung (4.2) verwendet werden:
dD + dt � @
@t
D \Gamma d((ffH + i fi D) � dt) = 4�(~ae + (i fi ~
ae \Gamma ffJ ) � dt) (4.14)
(4.14) kann man durch die Operation � dt splitten. Es ergeben sich folgende Gleichungen:
dD=4�~ae (4.15)
@
@t D \Gamma d(ffH + i fi D)=4�(i fi ~
ae \Gamma ffJ ) (4.16)
Behandelt man (4.15) analog zu (4.6), so erh� alt man das Gau�'sche Gesetz:
divE = 4�ae (4.17)

4.3. VEREINFACHUNG DURCH SPEZIELLE EIGENSCHAFTEN DER KERR METRIK 27
Auf (4.16) f� uhrt man die ? Operation aus:
?d(ffH)=rot(ffB)
? @
@t D= @
@t
E
?ffJ =ff~---
Schlie�lich eliminiert man ~
ae in (4.16) mittels (4.15) und erh� alt das Amp`ere'sche Gesetz:
rot(ffB) \Gamma @
@t E = 4�ff~--- \Gamma ?(di fi + i fi d
--- --z �
=L fi
)D (4.18)
Der letzte Summand (ohne ?) stellt die sogenannte Lie Ableitung des Tensors D dar. Er wird durch
die Symmetrien der Kerr Metrik wesentlich vereinfacht werden.
4.3 Vereinfachung durch spezielle Eigenschaften der Kerr
Metrik
Die Kerr Geometrie ist achsensymmetrisch. Das bedeutet, die Metrik h� angt nicht von der azimutha�
len Koordinate ab. In dieser Arbeit wird angenommen, da� die resultierenden Felder ebenfalls nicht
von dieser Koordinate abh� angen. In Gleichung (4.9) und (4.18) treten auf der rechten Seite unge�
wohnte Terme auf. Diese reduzieren sich durch Ausnutzung der Symmetrien der Kerr�Geometrie.
Zun� achst folgt f� ur den Ausdruck von (4.9):
?d(i fi B) = ?(` k � @
@x k )i fi ( 1
2 B ij ` i � ` j ) (1:1)
= ?[ 1
2 (` k � @
@x k )B ij (fi i ` j \Gamma fi j ` i )]
= ?[ @
@x k (B ij fi i )` k � ` j ]
In der Kerr�Geometrie hat nun der Verschiebungsvektor fi nur eine nichtverschwindende Kom�
ponente. Diese ist fi 3 = \Gamma!(x 1 ; x 2 ). Die Symmetrie von B (B ij = \GammaB ji ) involviert dann zwei
Komponenten dieses Tensors. In Achsensymmetrie verschwindet au�erdem die Ableitung nach x 3 .
Das f� uhrt zu:
?d(i fi B) = ?[ @
@x 1 (B 32 !) \Gamma @
@x 2 (B 31 !)]` 1 � ` 2 = ?[r \Delta (B!)` 1 � ` 2 ]
Mit (4.8) ergibt sich:
?d(i fi B) = B \Delta r! ` 3
Nun mu� noch ein Ausdruck f� ur die Lie Ableitung in (4.18) gefunden werden. Der erste Summand
von ?(di fi + i fi d)D berechnet sich analog zur eben durchgef� uhrten Berechnung:
?di fi D = r \Delta (!E) ` 3
Den zweiten Summand erh� alt man wie folgt:
?i fi dD=?i fi [ 1
2
@
@x k D ij ` k � ` i � ` j ]
=?[ 1
2 ( @
@x k D ij )(fi k ` i � ` j + fi i ` j � ` k \Gamma fi j ` i � ` k )]
fi hat nur eine 3�Komponente. Damit f� allt der erste Summand weg, und man erh� alt:
?i fi dD=?( @
@x k D 3j )!` j � ` k
=?( @
@x 2 D 31 )!` j � ` k + ?( @
@x 1 D 32 )!` j � ` k
= \Gamma(r \Delta E)! ` 3

28 KAPITEL 4. DER 3+1 SPLIT DER MAXWELLGLEICHUNGEN
Diese Ergebnisse kann man in (4.9) und (4.18) verwenden. Um Vergleichbarkeit mit anderen Ar�
beiten zu gew� ahrleisten, wird ab hier zur vektoriellen Schreibweise � ubergegangen. Dies geschieht
durch Indexgymnastik. (zB.: E i := g ij E j ) Die verwendete 1�Form Basis war aber orthonormal,
so da� sich dadurch nichts wesentliches � andert. Es folgen die Maxwell'schen Gleichungen in Kerr
Metrik:
divB=0 (4.19)
divE=4�ae (4.20)
rot(ffE) + @
@t
B=B \Delta r! e �
OE (4.21)
rot(ffB) \Gamma @
@t
E=4�ff~--- \Gamma E \Delta r! e �
OE (4.22)
4.4 Achsensymmetrische Felder
Wie schon erw� ahnt werden die physikalischen Gr� o�en in dieser Arbeit als achsensymmetrisch ange�
nommen. Bei dieser Symmetrie hat es sich bew� ahrt, Felder und Str� ome in toroidale und poloidale
Komponenten aufzuspalten:
B := B T +BP := (B �
OE e �
OE ) + (B �
` e �
` +B � r e �
r )
Diese Aufspaltung f� uhrt man mit allen Gr� o�en in (4.19) bis (4.22) durch und betrachtet toroidale
und poloidale Anteile separat. Man erh� alt:
@
@t
BP = \Gammarot(ffE T ) (4.23)
@
@t
B T =BP \Delta r! \Gamma rot(ffE P ) (4.24)
@
@t
EP =rot(ffB T ) \Gamma 4�ff~--- P (4.25)
@
@t
E T =EP \Delta r! + rot(ffB P ) \Gamma 4�ff~--- T (4.26)
divBP =0 (4.27)
divEP =4�ae (4.28)
Vergleicht man dieses Gleichungssystem mit den Maxwell'schen Gleichungen des flachen Raumes,
so stellt man fest, da� die toroidalen Komponenten der dynamischen Gleichungen ((4.24) und
(4.26)) eine neue Quelle (BP r! bzw.EP r!) erhalten. ! hat seinen bei weitem gr� o�ten Abfall in
radialer Richtung. Ein radiales magnetisches (elektrisches) Feld erregt also in Verbindung mit der
Gravitation ein toroidales magnetisches (elektrisches) Feld. Das Feld wird verschert. Die folgenden
Abbildungen zeigen, da� der Effekt nahe am Horizont relevant wird. Am Horizont selbst sowie f� ur
r !1 und a ! 0 verschwindet r!. Dieses Gleichungssystem bildet die Grundlage der Diskussion
des folgenden Kapitels.
4.5 Die Dynamo�Gleichungen
Betrachtet man den Raum um ein Schwarzes Loch, so erwartet man dort eine Materieverteilung.
In dieser Materie k� onnen durch Felder getriebene Str� ome flie�en. Die Str� ome erzeugen wieder�
um Felder, die die urspr� unglichen Felder entweder schw� achen oder verst� arken. Zur Beschreibung
dieser Situation ben� otigt man zus� atzlich zu den Maxwellgleichungen das Ohm'sche Gesetz. Seine
toroidalen und poloidalen Komponenten sind:
~--- P =oefl[E P + v T \Theta BP + vP \Theta B T ] (4.29)
~--- T =oefl[E T + vP \Theta BP ] (4.30)

4.5. DIE DYNAMO�GLEICHUNGEN 29
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
1.5 3
r/M
Abbildung 4.1: Die Abbildung zeigt log
i
\Gamma r!j r
r!j `
jfi fi fi a=1
in der �
Aquatorebene � uber dem Gravitationsradius.
Man sieht, da� r! fast exakt in radialer Richtung zeigt.
�0.1
�0.08
�0.06
�0.04
�0.02
0
2 3 6 7
r/M
Abbildung 4.2: Radiale Komponente von r! in der �
Aquatorebene f� ur verschiedene a (= Kerr�Parameter).
Von unten nach oben sind die Kurven f� ur a = 1, a = 0:7, a = 0:4, a = 0:2 geplottet. Bei hohem
Lochdrehimpuls wandert das Minimum nach innen.

30 KAPITEL 4. DER 3+1 SPLIT DER MAXWELLGLEICHUNGEN
Dabei ist v die Geschwindigkeit einer Plasmastr� omung bez� uglich des ZAMOs, oe die Leitf� ahigkeit
und fl der Lorentzfaktor. Mittels (4.29) und (4.30) kann man die Str� ome in der poloidalen sowie
der toroidalen Amp`eregleichung eliminieren. Durch kombination der restlichen Gleichungen und
Einf� uhrung des magnetischen Flusses \Psi,
\Psi(r; `) = 1
2�
Z
A
B dA; BP = r \Theta
` \Psi
~
! e �
OE
'
(4.31)
durch eine kreisf� ormig berandete Fl� ache A, sowie des doppelten negativen integralen poloidalen
Stroms T,
T = 2
Z
A
ff~--- P dA; B T = T
ff~!
e �
OE (4.32)
durch eine solche Fl� ache erh� alt man die beiden Dynamogleichungen f� ur \Psi und T. Zun� achst findet
man durch einsetzen der Definition des Flusses in (4.23):
E T = \Gamma 1
ff~!
@
@t
\Psi e �
OE (4.33)
Gleichung (4.26) mit (4.30) eingesetzt ergibt:
@
@t
E T = EP \Delta r! + rot(ffB P ) \Gamma 4�ffoefl[E T + vP \Theta BP ] (4.34)
Fast alle auftretenden Felder sind mittels der in diesem Kapitel angegebenen Gleichungen elimi�
nierbar. Man erh� alt:
@
@t E T + 4�ffoefl
�
\Gamma 1
ff~!
@
@t \Psie �
OE + vP \Theta
`
r \Theta
` \Psi
~
! e �
OE
''�
\Gamma r \Theta
�
ff
`
r \Theta
` \Psi
~
! e �
OE
''�
=
� 1
oefl
` 1
4�ff
`
r \Theta
`
ff T
ff~! e �
OE
'
\Gamma @
@t EP
''
\Gamma v T \Theta
`
r \Theta
` \Psi
~ ! e �
OE
''
\Gamma vP \Theta T
ff~! e �
OE
�
\Delta r!
Hier wurde nicht gek� urzt, um den Einsetzproze� transparent zu halten. Ausgehend von (4.24)
erh� alt man die Gleichung f� ur T:
@
@t
` T
ff~!
e �
OE
'
=
�
r \Theta
` \Psi
~
!
e �
OE
'�
\Delta r! \Gamma r \Theta
�
ff
` 1
4�fffloe
`
r \Theta
`
ff
` T
ff~!
e �
OE
''
\Gamma @
@t EP
'
\Gamma vP \Theta T
ff~!
e �
OE
'�
Die E Terme repr� asentieren hier den Maxwellschen Verschiebungsstrom. In [Khanna '93] wurden
diese beiden Ausdr� ucke vernachl� assigt. Die resultierenden Gleichungen wurden dort ausgiebig dis�
kutiert.
Die Vernachl� assigung des Verschiebungsstroms bewirkt, da� zum einen das poloidale elektrische
Feld vollst� andig eliminiert werden kann, und da� andererseits die zweiten Zeitableitungen ver�
schwinden. Letzteres macht aus der hyperbolischen kausalen Gleichung f� ur die Zeitentwicklung
von \Psi eine parabolische nichtkausale Gleichung. Diese Vernachl� assigung wird in dieser Arbeit
nicht gemacht.

Kapitel 5
Magneto� und Elektrostatik im
Schwarzschildraum
Im Schwarzschildfall l� a�t sich die Elektro� bzw. Magnetostatik rein analytisch behandeln. In diesem
Kapitel wird eine allgemeine L� osung der resultierenden Laplacegleichung angegeben. Das konkrete
Feld bestimmt man dann aus den Randbedingungen.
5.1 Allgemeine L� osung der Laplacegleichung
Unter den Annahmen a=0, alle Zeitableitungen verschwinden, keine Str� ome oder Ladungen, ver�
einfachen sich die Maxwellgleichungen wie folgt:
r \Theta [ffE P ] = r \Theta [ffB P ] = r \Delta EP = r \Delta BP = 0; (5.1)
wobei
ff =
r
1 \Gamma 2
r
ist, und r in Einheiten von GM
c 2 angegeben wird (Gravitationsradius). Die Gleichungen haben also
f� ur magnetisches und elektrisches Feld die gleiche Struktur. Die folgende Diskussion gilt deshalb
f� ur beide Felder. Zur L� osung der Rotationsgleichungen setzt man ein skalares Potential an.
EP bzw: BP = 1
ff r\Phi (5.2)
\Phi ist eine beliebige Funktion von r und `. Mit diesem Ansatz kann man die Divergenzgleichung
wie folgt schreiben (man beachte, da� die Operatoren in Schwarzschildkoordinaten auszuwerten
sind):
ff 2 @
@r
`
r 2 @ \Phi
@r
'
+ 1
sin `
@
@`
`
sin ` @ \Phi
@`
'
= 0 (5.3)
Dies ist die Laplacegleichung in Schwarzschildkoordinaten. Man l� ost wie im flachen Raum mittels
Separationsansatz:
\Phi(r; `) = \Phi 1 (r)\Phi 2 (`)
Dadurch erh� alt man folgende Gleichungen f� ur Radial� und Winkelfunktion:
ff 2 @
@r
`
r 2 @ \Phi 1
@r
'
=l(l + 1)\Phi 1 (5.4)
1
sin `
@
@`
`
sin ` @ \Phi 2
@`
'
= \Gammal(l + 1)\Phi 2 (5.5)
31

32 KAPITEL 5. MAGNETO� UND ELEKTROSTATIK IM SCHWARZSCHILDRAUM
l(l + 1) ist die Separationskonstante. Die zweite Gleichung ist die Legendre'sche Differentialglei�
chung. Diese ist l� osbar, falls l eine nat� urliche Zahl oder Null ist. Die L� osungen sind dann die
bekannten Multipole, was v� ollig analog zur gew� ohnlichen L� osung der Laplacegleichung in Kugel�
koordinaten ist.
In Gleichung (5.4) nimmt man nun die Transformation
�
r= 2
r
@
@r = \Gamma 2
r 2
@
@�r
vor. Dadurch erh� alt man: �
� r 2 (�r \Gamma 1) @ 2
@�r 2 + l(l + 1)
�
\Phi 1 = 0: (5.6)
Diese Gleichung wird bei [Kamke'67] (Gleichung (2.410)) behandelt. Dort wird die Verwandschaft
zur hypergeometrischen Differentialgleichung dargestellt und die allgemeine L� osung,
\Phi 1 (�r) = A l �
r l+1 F (l; l+1; 2(l+1); � r)(C 1
l +C 2
l log �
r)+B l �
r \Gammal F (\Gammal; \Gammal \Gamma 1; \Gamma2l; �r)(C 3
l +C 4
l log � r); (5.7)
angegeben. Dabei sind die A, B und C Konstanten, und F (a; b; c; x) ist die hypergeometrische Reihe
mit den Z� ahlerkoeffizienten a und b und dem Nennerkoeffizient c. Eine ausf� uhrliche Diskussion
dieser Funktionen ist bei [Abramowitz Stegun] zu finden. F� ur r !1 (bzw. � r ! 0) sollte die L� osung
mit der L� osung des Radialteils der Laplace'schen Gleichung in Kugelkoordinaten �
ubereinstimmen.
Diese kann man in Lehrb� uchern der Elektrodynamik nachlesen (zum Beispiel bei [Nolting 3] S.
126). Diese L� osung lautet (mit �
r als Variable):
\Phi limit
1 (�r) = A l � r \Gammal +B l � r l+1 (5.8)
Unter Verwendung von [Maple V] gewinnt man die f� ur alle l g� ultigen Grenzwerte:
lim
� r!0
F (l; l + 1; 2(l + 1); � r) = lim � r!0
F (\Gammal \Gamma 1; \Gammal; \Gamma2l); � r) = 1 (5.9)
Dadurch sind die Konstanten C i
l festgelegt. Damit n� amlich die L� osungen im Grenzfall � uberein�
stimmen, mu�
C 2
l = C 4
l = 0
gelten. Nun kann man ohne Beschr� ankung der Allgemeinheit
C 1
l = C 3
l = 1
w� ahlen. Damit lautet die allgemeine L� osung der Laplace'schen Gleichung in Schwarzschildkoordi�
naten:
\Phi(r; `) =
1
X
l=0
/
A l
` 2
r
' l+1
F
`
l; l + 1; 2(l + 1); 2
r
'
+B l
` 2
r
' \Gammal
F
`
\Gammal \Gamma 1; \Gammal; \Gamma2l; 2
r
' !
P l (cos `)
(5.10)
Die Konstanten A l und B l werden durch die Randbedingungen festgelegt.

5.2. BEISPIELE 33
5.2 Beispiele
Als Anwendungsbeispiele sollen hier ein je ein Randwertproblem f� ur elektrisches und magnetisches
Feld behandelt werden. Diese haben exemplarischen Charakter. Es sollte also m� oglich sein anhand
dieser Beispiele das Feld auch f� ur andere R� ander zu bestimmen.
5.2.1 Feld einer Kugel mit beliebiger Ladungsverteilung
Um ein Schwarzes Loch liegt eine Kugel im Abstand R. Auf der Kugelfl� ache befindet sich eine
Ladungsdichte oe. Es soll das Potential des elektrischen Feldes zwischen r = 2 und r = 1 berechnet
werden. Wegen der Vollst� andigkeit der Legendrepolynome kann oe in diese entwickelt werden:
oe(`) =
1
X
l=0
oe l P l (cos `)
Das Potential \Phi soll im Unendlichen und im Ursprung beschr� ankt bleiben. Es bietet sich folgender
Ansatz an:
\Phi =
(
\Phi i =
P 1
l=0 B l
\Gamma 2
r
\Delta \Gammal
F
\Gamma
\Gammal \Gamma 1; \Gammal; \Gamma2l; 2
r
\Delta
P l (cos `) 2 ! r ! R
\Phi a =
P 1
l=0 A l
\Gamma 2
r
\Delta l+1
F
\Gamma
l; l + 1; 2(l + 1); 2
r
\Delta
P l (cos `) R ! r ! 1
(5.11)
Es handelt sich also um 2l Konstanten und man ben� otigt ebensoviele Gleichungen um sie zu
bestimmen. Den ersten Bedingungssatz erh� alt man durch die Stetigkeitsbedingung des Potentials
an der Grenzfl� ache. Diese impliziert dann, da� die Tangentialkomponente des Feldes dort ebenfalls
stetig verl� auft. Aus
\Phi i (R) = \Phi a (R)
folgt:
B l
` 2
R
' \Gammal
F
`
\Gammal \Gamma 1; \Gammal; \Gamma2l; 2
R
'
= A l
` 2
R
' l+1
F
`
l; l + 1; 2(l + 1); 2
R
'
(5.12)
wegen der Vollst� andigkeit der Legendrepolynome. l weitere Bedingungen erh� alt man durch die
Sprungbedingung der Normalkomponente des elektrischen Feldes an Grenzfl� achen:
4�oe = E a \Gamma E i :
Daraus folgt, wiederum wegen der Vollst� andigkeit der Legendrepolynome:
4�oe l = A l
@
@r
'' ` 2
r
' l+1
F
`
l; l + 1; 2(l + 1); 2
r
' #fi fi fi fi fi R
+ B l
@
@r
'' ` 2
r
' \Gammal
F
`
\Gammal \Gamma 1; \Gammal; \Gamma2l; 2
r
' #fi fi fi fi fi R
(5.13)
Zusammen mit 5.12 bedeutet das, da� die oe l mit den A l � uber einen Faktor zusammenh� angen:
oe l = A l f l (R)
F� ur jede Ladungsdichte kann man damit die Potentialkoeffizienten angeben. Besonders einfach wird
das f� ur eine sph� arisch symmetrische Ladungsverteilung. Dann sind n� amlich die beiden involvierten
hypergeometrischen Funktionen durch eine einfache analytische Formel gegeben:
F (\Gamma1; 0; 0; 2
r ) = 1; F (0; 1; 2; 2
r ) = 1 \Gamma 2
r
In diesem Fall hat die Ladungsdichte nur eine Nullkomponente. Mit obigen Anschlu�bedingungen
erh� alt man das Potential zu:
\Phi = \Gamma2�roe 0
8 ? ? ? ? !
? ? ? ? :
2( R
r
\Gamma 2
r
) R ! r ! 1
2 (1 \Gamma
2
r )
--- --z �
=ff 2
2 ! r ! R
(5.14)

34 KAPITEL 5. MAGNETO� UND ELEKTROSTATIK IM SCHWARZSCHILDRAUM
F� ur den flachen Raum ist dieses Beispiel unter anderem in [Nolting 3] angegeben. Man erkennt
den Grenzfall des klassischen Kugelkondensators, wenn man ff, das beim inneren Potential auf�
tritt zu eins setzt. Dann verschwindet das Feld im inneren der Kugel, wie man es f� ur das innere
einer geladenen Kugel erwartet. Allein das Vorhandensein des Schwarzen Loches erzeugt also ein
statisches Feld zwischen Horizont und Kugelschale.
5.2.2 Split Monopol
Nun soll das Magnetfeld eines Schwarzen Loches mit einer Scheibe der H� ohe Null, die sich von
r = 0 bis r = 1 in der �
Aquatorebene erstreckt, berechnet werden. Der Strom in der Scheibe ist
dabei mit
j �
OE = 1
�r 2
als gegeben vorrausgesetzt. Man setzt das Potential in der n� ordlichen und s� udlichen Hemisph� are
folgenderma�en an:
\Phi N =A N
0
2
r +B N
0 (1 \Gamma 2
r )
\Phi S =A S
0
2
r +B S
0 (1 \Gamma 2
r )
Die radiale Abh� angigkeit ist hier wieder durch den Monopolterm der Entwicklung (5.10) gegeben.
Dies ist ein rein radiales Feld. Die Komponente senkrecht zur Scheibe ist also Null und damit
stetig. Die Tangentialkomponente mu� um die Stromdichte springen:
4�j �
OE = B S \Gamma B N = @
@r \Phi S \Gamma @
@r \Phi N
Im Unendlichen und am Horizont normiert man \Phi wie folgt:
\Phi(1) = 1 \Phi N (2) = 2 \Phi S (2) = 0
Damit berechnet sich das Potential zu:
\Phi N =1 + 2
r
\Phi S =1 \Gamma 2
r
Dies ist das Feld eines geteilten Monopols, dessen Feldlinien in der n� ordlichen Hemisph� are einw� arts
weisen, und in der s� udlichen nach au�en zeigen. Das Feld ist � uberall stetig, au�er in der �
Aquatore�
bene, wo es nicht definiert ist.

5.2. BEISPIELE 35
0
0.5
1
1.5
2
2 30 80 100
r/M
Abbildung 5.1: Potential des Split Monopols oberhalb und unterhalb der Scheibe. Die Scheibe befindet
sich in der �
Aquatorebene und tr� agt eine Stromdichte in OE�Richtung die mit 1
r 2
abf� allt.

Kapitel 6
Wellen im Schwarzschildfall
Elektromagnetische Wellen auf dem Hintergrund eines Schwarzen Loches Spielen bei Stabilit� ats�
untersuchungen von magnetischen Strukturen eine wesentliche Rolle. Wellen in Kerr�Geometrie
sind im Newman�Penrose�Formalismus behandelt worden ([Teukolsky '73], [Chandrasekhar '83]).
Dieser Formalismus eignet sich nicht f� ur numerische Zwecke. Numerische Simulationen beruhen
immer auf dem 3+1 Split der Raumzeit.
In diesem Kapitel werden die Gleichungen (4.23) bis (4.28) f� ur den Schwarzschildfall (! = 0) und
eine Vakuumsituation (~--- = ae = 0) untersucht. Mit diesen Vereinfachungen erh� alt man das folgende
System:
@
@t BP = \Gammarot(ffE T ) (6.1)
@
@t B T = \Gammarot(ffE P ) (6.2)
@
@t EP =rot(ffB T ) (6.3)
@
@t E T =rot(ffBP ) (6.4)
divBP =0 (6.5)
divEP =0 (6.6)
Im folgenden ist mit der Koordinate r stets rc 2
GM gemeint. Die Felder k� onnen in dem hier vor�
liegenden Fall weitgehend analytisch behandelt werden. Die Diskussion wird f� ur das elektrische
Feld durchgef� uhrt. Wegen der Symmetrie der Gleichungen ist aber eine analoge Diskussion f� ur
das Magnetfeld m� oglich. Um die Wellengleichung f� ur das poloidale elektrische Feld zu erhalten,
multipliziert man Gleichung (6.2) mit ff und bildet die Rotation. Dies setzt man in die einmal nach
der Zeit abgeleitete Gleichung (6.3) ein. Es ergibt sich:
@ 2
@t 2 EP = \Gammar \Theta (ff(r \Theta (ffE P ))) j \Gamma(r \Theta ff) 2 EP (6.7)
Wegen der Divergenzfreiheit des poloidalen elektrischen Feldes, l� a�t sich ein rotationssymmetrisches
Vektorpotential ansetzen:
EP := rot
` \Phi
~ ! ~e �
OE
'
= 1
~
! r\Phi \Theta e �
OE (6.8)
Damit l� a�t sich (6.7), wie im Anhang gezeigt (Gleichung (A.7)), fogenderma�en vereinfachen:
@ 2
@t 2 \Phi =
'' `
ff 2 @
@r
' 2
+ ff 2 sin 2 `
r 2
` 1
sin `
@
@`
' 2
#
\Phi (6.9)
36

37
Hier bietet sich nun ein Separationsansatz an:
\Phi = T (t)R(r)\Theta(`)
Setzt man diesen Ansatz in (6.9) ein und teilt durch \Phi, so erh� alt man eine Gleichung, deren eine
Seite nicht vom Ort und deren andere Seite nicht von der Zeit abh� angt. Beide Teile sind also gleich
einer Konstanten \Gammaoe 2 :
1
T
@ 2
@t 2 T = 1
R
`
ff 2 @
@r
' 2
R + 1
\Theta
ff 2
r 2
~
L 2 \Theta = \Gammaoe 2 (6.10)
Dabei wurde zur Abk� urzung der Operator ~
L 2 eingf� uhrt:
~
L 2 := sin 2 `
` 1
sin `
@
@`
' 2
Die Zeitabh� angigkeit erf� ullt die Gleichung:
@ 2
@t 2 T = \Gammaoe 2 T
Diese wird gel� ost durch
T = Ae ioet +Be \Gammaioet ;
wobei A und B reelle Konstanten sind. Der zweite Teil von Gleichung (6.10) l� a�t sich nun, nach
Division durch ff 2 =r 2 , ebenfalls in einen nur vom Winkel� bzw. Radius�abh� angigen Teil zerlegen.
Diesen setzt man gleich einer Konstanten l(l + 1):
r 2
ff 2
1
R
`
ff 2 @
@r
' 2
R + r 2
ff 2 oe 2 = \Gamma 1
\Theta
~
L 2 \Theta = l(l + 1) (6.11)
Der zweite Teil stellt eine Eigenwertgleichung f� ur den Operator ~
L 2 dar,
~
L 2 \Theta = \Gammal(l + 1)\Theta:
Die Eigenfunktionen ~
P l dieser Gleichung leiten sich von den Legendre Polynomen ab (siehe Anhang,
(A.11)), wobei die Eigenwertparameter l der Menge der nat� urlichen Zahlen oder Null zugeh� oren.
Nun bleibt die Gleichung f� ur die radiale Abh� angigkeit:
'' `
ff 2 @
@r
' 2
\Gamma ff 2
r 2 l(l + 1) + oe 2
#
R = 0 (6.12)
Diese Gleichung ist bisher analytisch nicht zug� anglich. Allerdings kann man die L� osung mithilfe
der asymptotischen L� osungen numerisch integrieren.
F� ur gro�e r beschreibt die Gleichung ebene Wellen. Bei diesem Grenzfall f� allt n� amlich der Zentri�
fugalterm (� ff 2
r 2 ) weg und ff geht gegen 1:
'' ` @
@r
' 2
+ oe 2
#
R = 0; r !1 (6.13)
Man erh� alt die bekannte L� osung:
R = Ce ioer +De \Gammaioer (6.14)
F� ur r ! 2 (Horizont) kann man ff 2 in eine Taylor'sche Reihe entwickeln:
ff 2 � ff 2 (2) +
\Gamma ff 2
\Delta 0 (2)(r \Gamma 2) = 1
2 (r \Gamma 2) =: ~
ff 2

38 KAPITEL 6. WELLEN IM SCHWARZSCHILDFALL
Dies ist erforderlich, weil die nun folgende Koordinatentransformation f� ur das exakte ff nicht in�
vertierbar ist. Man definiert die Variable ~ r \Lambda durch:
2~ff 2 @
@r = @
@~r \Lambda
Diese Transformation ist integrabel und invertierbar. Man erh� alt:
~ r \Lambda =ln(r \Gamma 2) (6.15)
r=e ~ r \Lambda
+ 2 (6.16)
Der Horizont wird also nach \Gamma1 geschoben. In dieser N� aherung ergibt sich Gleichung (6.12) zu:
''
1
4
` @
@~r \Lambda
' 2
\Gamma 1
2
e ~ r \Lambda
(e ~
r \Lambda +2) 2 l(l + 1) + oe 2
#
R = 0 (6.17)
Der mittlere Ausdruck l� a�t sich durch die Transformation
~ r = ~ r \Lambda \Gamma ln 2
weiter vereinfachen:
1
2
e ~ r \Lambda
(e ~ r \Lambda +2) 2 = 1
4
e ~
r
(e ~ r + 1) 2 = 1
4
e ~ r
e 2~r + 2 e ~ r + 1 = 1
4(e ~ r + e \Gamma ~
r + 2) = 1
8(cosh ~ r + 1)
Damit erreicht Gleichung 6.17 die Form:
2
6 6 6 4
` @
@~r
' 2
\Gamma l(l + 1)
2(cosh ~ r + 1)
--- --z �
V
+4oe 2
3
7 7 7 5 R = 0 (6.18)
Dies ist die station� are Schr� odingergleichung f� ur ein Potential V (siehe 6). Dieses strebt f� ur ~ r ! \Gamma1
rasch gegen Null. Damit kann die assymptotische L� osung angegeben werden. F� ur den radialen
Anteil ergibt sich:
R r!2 = C sin
i
ln( r
2 \Gamma 1) 2oe
j
+D cos
i
ln( r
2 \Gamma 1) 2oe
j
(6.19)
Die L� osung zeigt damit ein fraktales Verhalten f� ur r ! 2. Die Wellen werden zum Horizont hin
gestaucht, wobei die Wellenl� ange bei r = 2 verschwindet. Die komplette assymptotische L� osung
f� ur die radiale Komponente des Feldes hat damit folgende Gestalt:
\Phi r!2 =
1
X
l=0
~
P l (cos `)(Ae ioet +Be \Gammaioet )(C sin(ln( r
2 \Gamma 1) 2oe ) +D cos(ln( r
2 \Gamma 1) 2oe ) (6.20)
Durch Kenntnis dieser assymptotischen L� osung kann nun durch ein Runge�Kutta Verfahren die
L� osung f� ur gr� o�ere Abst� ande berechnet werden. Das Resultat ist auf den folgenden Seiten zu se�
hen. Dabei erkennt man, da� relativistische Effekte ab etwa vier Gravitationsradien auftreten. Der
Effekt besteht darin, da� sich die Wellenl� ange rasch verk� urzt und am Schwartzschildradius gegen
null strebt. Mit zunehmendem l schieben sich die Wellen nach au�en (siehe Abb. 6.3, 6.5, 6.7). Das
verwendete numerische Verfahren ist bis l=4 anwendbar. Danach treten numerische Schwierigkei�
ten auf. Da� es sich dabei um Artefakte der Numerik handelt, sieht man daran, da� bei direkter
Integration der radialen Feldgleichung (A.8) kein au�ergew� ohnliches Verhalten f� ur gro�e l beob�
achtet wird (siehe Abb. 6.11). F� ur gro�e r wird die Wellenl� ange konstant, und das Potential geht
in seine assymptotische L� osung (6.14) � uber. Die poloidalen Feldkomponenten erh� alt man durch
(A.4) und (A.5).

39
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
V
�10 �5 5 10
r/M
Abbildung 6.1: Potential V in Abh� angigkeit von ~ r
�1
�0.5
0
0.5
1
2 2.0001 2.0004
r/M
Abbildung 6.2: Radialer Anteil des Potentials des poloidalen elektrischen Feldes (assymptotische L� osung)

40 KAPITEL 6. WELLEN IM SCHWARZSCHILDFALL
�1
�0.5
0
0.5
1
2 4 8 10
r/M
Abbildung 6.3: Radialer Anteil des Potentials des poloidalen elektrischen Feldes, l=0, von 2 bis 10 Gra�
vitationsradien, f� ur r=M ! 3 siehe Abb.6.2
�1
�0.5
0
0.5
1
20 40 80 100
r/M
Abbildung 6.4: Radialer Anteil des Potentials des poloidalen elektrischen Feldes, l=0, von 2 bis 100
Gravitationsradien

41
�1
�0.5
0
0.5
1
2 4 8 10
r/M
Abbildung 6.5: Radialer Anteil des Potentials des poloidalen elektrischen Feldes, l=1, von 2 bis 10 Gra�
vitationsradien, f� ur r=M ! 3 siehe Abb.6.2
�1
�0.5
0
0.5
1
20 40 80 100
r/M
Abbildung 6.6: Radialer Anteil des Potentials des poloidalen elektrischen Feldes, l=1, von 2 bis 100
Gravitationsradien

42 KAPITEL 6. WELLEN IM SCHWARZSCHILDFALL
�1
�0.5
0
0.5
1
2 4 8 10
r/M
Abbildung 6.7: Radialer Anteil des Potentials des poloidalen elektrischen Feldes, l=2, von 2 bis 10 Gra�
vitationsradien, f� ur r=M ! 3 siehe Abb.6.2
�1
�0.5
0
0.5
1
20 40 80 100
r/M
Abbildung 6.8: Radialer Anteil des Potentials des poloidalen elektrischen Feldes, l=2, von 2 bis 100
Gravitationsradien

43
�1
�0.5
0
0.5
1
2 4 8 10
r/M
Abbildung 6.9: Radialer Anteil des Potentials des poloidalen elektrischen Feldes, l=3, von 2 bis 10 Gra�
vitationsradien
�1
�0.5
0
0.5
1
20 40 80 100
r/M
Abbildung 6.10: Radialer Anteil l=3, von 2 bis 100 Gravitationsradien

44 KAPITEL 6. WELLEN IM SCHWARZSCHILDFALL
�0.1
�0.05
0
0.05
0.1
5 15 25 35
r/M
Abbildung 6.11: E �
r (radialer Anteil) direkt integriert (Gleichung (A.8)) , l=20, von 2 bis 35 Gravitati�
onsradien

Kapitel 7
Ergebnisse
In dieser Arbeit wurden auf zwei Gebieten Fortschritte erzielt. Zum einen konnte in der Statik
durch eine allgemeine L� osung der Laplacegleichung im Schwarzschildraum eine Grundlage f� ur die
Behandlung von Randwertproblemen geschaffen werden. Als Beispiel wurden das elektrische Poten�
tial f� ur eine Kugel mit beliebiger Ladungsverteilung und Schwarzem Loch in der Mitte, sowie das
skalare magnetische Potential f� ur eine unendlich ausgedehnte Scheibe um das Loch explizit ange�
geben. Zum anderen wurde die Wellengleichung bis zum Schwarzschildradius numerisch integriert.
Dort ergab sich ein fraktales Verhalten, was durch die analytische Berechnung der assymptotischen
L� osung handhabbar wurde. Zuk� unftige numerische Simulationen, die elektromagnetische Wellen
nicht durch Vernachl� assigung des Verschiebungsstroms unterdr� ucken, k� onnten diese Ergebnisse
verwenden, um das interessante Verhalten der Felder am Horizont in astrophysikalisch relevanten
Situationen zu untersuchen.
Der verwendete Ansatz l� a�t sich im allgemeinen nicht f� ur die Kerr�Geometrie � ubertragen. Dies ist
auf die Verscherung der Felder durch die Kopplung an das gravitomagnetische Kraftfeld zur� uck�
zuf� uhren. Allerdings verschwindet diese Kopplung am Horizont, so da� die Felder unmittelbar am
Horizont dasselbe Verhalten zeigen d� urften, wie in dieser Arbeit f� ur den Schwarzschildfall berechnet
wurde.
45

Anhang A
Mathematischer Teil
A.1 Symbolverzeichnis
\Lambda 4�dimensionales Hodge�Dual
? 3�dimensionales Hodge�Dual
� � au�eres Produkt, siehe (1.2)
i fi inneres Produkt mit fi, siehe (1.4)
\Theta � 1�Form Basis des ZAMOs
` � 1�Form Basis des assymptotisch flachen Raumes
d � au�ere Ableitung in der 4�dimensionalen Raumzeit
d � au�ere Ableitung im 3�dimensionalen Raum
L fi = di fi + i fi d Lie Ableitung
A.2 Die Funktionen der Kerr'schen Metrik
ff 2 = \Sigma\Delta
A
~
! 2 = A sin 2 `
\Sigma
!= 2Mar
A
A=(r 2 + a 2 ) 2 \Gamma \Deltaa 2 sin 2 `
\Sigma =r 2 + a 2 cos 2 `
\Delta =r 2 \Gamma 2Mr + a 2
A.3 Die Lichtgeschwindigkeit in der N� ahe des Horizonts
Analog zur Diskussion beim Frame�Dragging�Effekt kann man die Frage stellen, welche Beobachter
f� ur die Bewegung in andere Richtungen zeitartig sind. Um den Frame�Dragging�Effekt dabei zu
ber� ucksichtigen, geht man von der 4�er�Geschwindigkeit des ZAMOs aus und erweitert diese um
einen � r Anteil (also in orthonormalen,physikalischen Gr� o�en):
U = 1
N ff
(~e t + !~e OE + v �
r ~e �
r ) = 1
N ff
(~e t + !~e OE + v � r
r
\Delta
\Sigma ~e r )
46

A.4. WELLENGLEICHUNG F �
UR DAS ELEKTRISCHE VEKTORPOTENTIAL 47
N(r; `) ist der Normierungsfaktor (g(U; U) = 1) Dieser Vektor wird lichtartig f� ur:
0 = g(U; U) = 1
N 2
0
B B B B B @
g(UZAMO ; UZAMO )
--- --z �
=\Gamma1
\Gamma 2
ff v � r
r
\Delta
\Sigma g(UZAMO ; ~e r )
--- --z �
=0;da g tr =g OEr =0
+
` v �
r
ff
' 2
\Delta
\Sigma g(~e r ; ~e r )
--- --z �
=
\Gamma v � r
ff
\Delta 2
1
C C C C C A
\Gamma!
v � r = \Sigmaff
Die gleiche Rechnung mit
U = 1
N ff
(~e t + !~e OE + v � ` ~e �
` ) = 1
N ff
(~e t + !~e OE + v �
`
r
1
\Sigma ~e ` )
ergibt:
v � ` = \Sigmaff
A.4 Wellengleichung f� ur das elektrische Vektorpotential
Ausgangspunkt ist die Gleichung (6.7):
@ 2
@t 2 EP = \Gamma(r \Theta ff) 2 EP (A.1)
Die einzelnen Teile dieser Gleichung berechnen sich, unter Ber� ucksichtigung der Metrik, wie folgt:
r \Theta (ffE p )=
q
1 \Gamma 2
r
r 2 sin `
�
r sin `
� @
@r (rffE �
` ) \Gamma @
@` E � r
��
\Delta e �
OE
= ff
r
� @
@r (ffrE �
` ) \Gamma @
@` E � r
�
\Delta e �
OE
r \Theta [ffr \Theta (ffE p )]= ff
r 2 sin `
� 1
ff
e � r
@
@`
` ff 2
r
` @
@r
(ffrE � ` ) \Gamma @
@`
E �
r
'
r sin `
'
\Gammare � `
@
@r r sin ` ff 2
r
` @
@r (ffrE � ` ) \Gamma @
@` E �
r
'�
= ff
r 2 sin `
�
ffe � r
@
@` sin `
` @
@r (ffrE �
` ) \Gamma @
@` E �
r
'
\Gamma r sin `e �
`
@
@r ff 2
` @
@r (ffrE �
` ) \Gamma @
@` E �
r
'�
Damit lassen sich die Gleichungen f� ur die Komponenten des poloidalen Feldes aufstellen:
@ 2
@t 2 E � r = \Gamma ff 2
r 2 sin `
@
@` sin `
` @
@r (ffrE �
` ) \Gamma @
@` E �
r
'
(A.2)
@ 2
@t 2 E � ` = ff
r
@
@r ff 2
` @
@r
(ffrE � ` ) \Gamma @
@` E �
r
'
(A.3)
(6.8) lautet in Komponenten:
E � r = 1
r 2 sin `
@
@` \Phi (A.4)
E � ` = \Gamma ff
r sin `
@
@r
\Phi (A.5)

48 ANHANG A. MATHEMATISCHER TEIL
Durch diesen Ansatz kann man nun die noch nicht ber� ucksichtigte Bedingung
r \Delta EP = 0 (A.6)
in (A.3) bzw. (A.2) einf� uhren. Setzt man den Potentialansatz in eine der Gleichungen ein, so ergibt
sich:
@ 2
@t 2 \Phi =
'' `
ff 2 @
@r
' 2
+ ff 2
r 2 sin 2 `
` 1
sin `
@
@`
' 2
#
\Phi (A.7)
Man kann die Divergenzfreiheit aber auch ohne Potential verwenden. Hier kommt man allerdings
nur bei der radialen Komponente weiter. Gleichung (A.6) lautet in Komponenten:
ff 2 @
@r
\Gamma
r 2 sin `E � r
\Delta
+ @
@`
i
ffr sin `E �
`
j
= 0
Nun vertauscht man in (A.2) die partiellen Ableitungen und setzt obige Gleichung ein. Es ergibt
sich:
@ 2
@t 2 E �
r =
''
1
r 2
`
ff 2 @
@r
' 2
r 2 + ff 2
r 2 sin 2 `
`
sin ` @
@`
' 2
#
E � r (A.8)
Der Vorteil dieser Gleichung ist einerseits, da� man den Winkelanteil sofort als Legendre�Operator
erkennt, andererseits konvergiert das verwendete Runge�Kutta Verfahren bei dieser Gleichung auch
noch f� ur h� oherer l Werte als bei der Gleichung f� ur das Potential.
A.5 Modifizierte Legendre Gleichung
Die Legendre'sche Differentialgleichung lautet:
1
sin 2 `
`
sin ` @
@`
' 2
P l = \Gammal(l + 1)P l (A.9)
Ihre Eigenwerte sind die nat� urlichen Zahlen und Null. Die Eigenfunktionen sind die bekannten
Multipole. Die Rekursionsformel f� ur die Eigenfunktionen lautet:
P l (cos `) = 1
2 l l!
` @
@ cos `
' l
(cos 2 ` \Gamma 1) l (A.10)
Diese Funktionen werden in Lehrb� uchern der mathematischen Physik diskutiert.
Behauptung:
Ist P l Eigenfunktion der Legendre'schen Differentialgleichung zum Eigenwert l(l + 1), so ist
~
P l = sin ` @
@` P l (A.11)
Eigenfunktion des Operators
sin 2 `
` 1
sin `
@
@`
' 2
zum gleichen Eigenwert.
Beweis:
Wendet man auf (A.9) den Operator sin ` @
@` von links an, so erh� alt man:
sin ` @
@`
1
sin `
@
@` sin ` @
@` P l
--- --z �
~
P l
= \Gammal(l + 1) sin ` @
@` P l
--- --z �
~
P l

A.5. MODIFIZIERTE LEGENDRE GLEICHUNG 49
()
sin 2 `
` 1
sin `
@
@`
' 2
~
P l = \Gammal(l + 1) ~
P l (A.12)
quod erat demonstrandum.
Diese Eigenfunktionen werden bereits bei [Kamke'67] Gleichung (2.231) (x = \Gamma cos `) angege�
ben. Es folgen die ersten vier Legendre�Polynome zusammen mit den zugeh� origen modifizierten
Polynomen:
P 0 = 1 ~
P 0 = 0
P 1 = cos ` ~
P 1 = \Gamma sin 2 `
P 2 = 1
2 (3 cos 2 ` \Gamma 1) ~
P 2 = \Gamma3 cos ` sin 2 `
P 3 = 2 cos `(5 cos 2 ` \Gamma 3) ~
P 3 = 6 sin 2 `(1 \Gamma 5 cos 2 `)

50 ANHANG A. MATHEMATISCHER TEIL
�0.4
�0.2
0
0.2
0.4
�1 �0.5 0.5 1
Abbildung A.1: P1 in Polardarstellung. Der Winkel beginnt bei 3 Uhr und l� auft linksherum. Der Funkti�
onswert ist als Abstand vom Zentrum dargestellt.
�1
�0.5
0
0.5
1
�0.4 �0.2 0.2 0.4
Abbildung A.2: ~
P1 in Polardarstellung. Der Winkel beginnt bei 3 Uhr und l� auft linksherum. Der Funkti�
onswert ist als Abstand vom Zentrum dargestellt.

A.5. MODIFIZIERTE LEGENDRE GLEICHUNG 51
�0.4
�0.2
0
0.2
0.4
�1 �0.5 0.5 1
Abbildung A.3: P2 in Polardarstellung. Der Winkel beginnt bei 3 Uhr und l� auft linksherum. Der Funkti�
onswert ist als Abstand vom Zentrum dargestellt.
�1
�0.5
0
0.5
1
�0.6�0.4�0.2 0.2 0.4 0.6
Abbildung A.4: ~
P2 in Polardarstellung. Der Winkel beginnt bei 3 Uhr und l� auft linksherum. Der Funkti�
onswert ist als Abstand vom Zentrum dargestellt.

52 ANHANG A. MATHEMATISCHER TEIL
�1.5
�1
�0.5
0
0.5
1
1.5
�4 �2 2 4
Abbildung A.5: P3 in Polardarstellung. Der Winkel beginnt bei 3 Uhr und l� auft linksherum. Der Funkti�
onswert ist als Abstand vom Zentrum dargestellt.
�6
�4
�2
0
2
4
6
�3 �2 �1 1 2 3
Abbildung A.6: ~
P3 in Polardarstellung. Der Winkel beginnt bei 3 Uhr und l� auft linksherum. Der Funkti�
onswert ist als Abstand vom Zentrum dargestellt.

Literaturverzeichnis
[Abramowitz Stegun] Milton Abramowitz & Irene Stegun: Handbook of mathematical Functions,
Dover Publications, Inc., New York (1965)
[Blandford & Znajek '77] Blandford & Znajek: Elektromagnetic extraction of energy from Kerr
black holes, MNRAS 179, 433�456
[Brandenburg '96] Axel Brandenburg: Testing Cowling's Antidynamo Theorem near a Rotating
Black Hole, Astrophysical Journal Letters v.465, p.L115
[Camenzind '91] Max Camenzind: Formation of Jets in Extragalactic Radio Sources in: Lecture
Notes in Physics 421 c
flSpringer�Verlag Berlin Heidelberg 1993
[Camenzind '98] Max Camenzind: On disks and jet(s) in the defunct quasar M87 in: Proc. ``Ring�
berg Workshop on M87'' eds.: R� oser et al.; Lecture Notes in Physics, in press
[Chandrasekhar '83] Subrahmanyan Chandrasekhar: The Mathematical Theorie of Black Holes,
c
flOxford University Press 1983
[D&S '88] R.Durrer und N.Straumann: Some Applications of the 3+1 Formalism of General Re�
lativity, in Helvetica Physica Acta, Vol.61 (1988) pg.1027 ff
[Fendt '97] Christian Fendt: Collimated jet magnetospheres around rotating black holes, Astrono�
my and Astrophysics, 319, 1025�1035
[Kamke'67] E. Kamke: Differentialgleichungen, c
flAkademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig
K.�G., Leipzig 1967
[Kerr '63] R.P. Kerr: Phys. Rev. Letters, 11, 237�8 (1. September 1963)
[Kerr '65] R.P. Kerr & A. Schild: Comitato Nazionale per le Manifestazioni Celebrative Relativita
Generale: Problemi Dell' Energia E Onde Gravitazionali, 1�12, G. Barbera, Florenz, 1965
[Khanna '93] Ramon Khanna: Der gravitomagnetische Dynamoeffekt in Akkretionsscheiben
Schwarzer L� ocher, Dissertation Universit� at Heidelberg 1993
[Khanna & Camenzind '96] Khanna & Camenzind: The
!\Omega dynamo in accretion disks of rotating
black holes, Astronomy and Astrophysics, v.307, p.665�685
[Macdonald & Suen '85] Douglas A. Macdonald & Wai�Mo Suen: The Membrane Viewpoint on
black holes: Dynamical Electromagnetic fields near the horizon, 1985 Physical Review D 32,
848.
[Maple V] Maple V Release 5, c
fl1997 by Waterloo Maple
[MTW '73] Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation, c
flFreeman & Co. 1973 c
flBirkh� auser Verlag,
Basel 1988
53

54 LITERATURVERZEICHNIS
[Nolting 3] Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3, c
flVerlag Zimmermann�Neufang
,Ulmen 1990
[Peitz '98] Jochen Peitz: Relativistic Hydrodynamic Accretion Discs around Rotating Black Holes,
Dissertation Universit� at Heidelberg 1998
[Peitz & Appl '98] Jochen Peitz & Stefan Appl: 3+1 formulation of non�ideal hydrodynamics, 1998
MNRAS 296, 231
[Straumann '84] Norbert Straumann: General Relativity and Relativistic Astrophysics, c
flSpringer
1984
[Teukolsky '73] Saul A. Teukolsky: Perturbations af a rotating black hole I. Fundamental equa�
tions for gravitational, electromagnetic, and neutrino�field pertubations, The Astrophysikal
Journal, 185: 635�647, 1973 October 15
[ TPM '86] Thorne, Price, Macdonald: Black Holes: The Membrane Paradigm c
flYale University
Press 1986

Erkl� arung: Ich versichere, da� ich diese Arbeit selbst� andig verfa�t und keine anderen als die
angegebenen Hilfsmittel benutzt habe. Heidelberg, den 24. Juni 1998