Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.mrao.cam.ac.uk/~krause/diplomarbeit.ps.gz Äàòà èçìåíåíèÿ: Mon Feb 14 22:16:34 2005 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Fri Dec 21 23:06:05 2007 Êîäèðîâêà: Ïîèñêîâûå ñëîâà: ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï

Fakult¨ at f¨ ur Physik und Astronomie
Ruprecht­Karls­Universit¨ at Heidelberg
Diplomarbeit
im Studiengang Physik
vorgelegt von
Martin Krause
aus Mannheim
1998


Dynamik elektromagnetischer Felder
im Auúenraum der Schwarzschildmetrik
Die Diplomarbeit wurde von Martin Krause ausgef¨ uhrt an der
Landessternwarte Heidelberg­K¨ onigstuhl
unter Betreuung von
Herrn Prof. Max Camenzind
Zweitgutachter:
Prof. Immo Appenzeller
Landessternwarte Heidelberg­K¨ onigstuhl


Denn wir sehen jetzt mittels eine Spiegels, undeutlich, dann aber von
Angesicht zu Angesicht. Jetzt erkenne ich st¨ uckweise, dann aber werde
ich erkennen, wie auch ich erkannt worden bin.
(1.Brief des Paulus an die Korinther Kapitel 13, Vers 12)


Zusammenfassung
Die elektrodynamischen Ph¨ anomene in der N¨ ahe des Horizontes Schwarzer L¨ ocher wer­
den untersucht. Dazu wird die Laplacegleichung vollst¨ andig und die Wellengleichung
weitgehend analytisch mit Schwarzschildhintergrundmetrik gel¨ ost. Es ergibt sich eine
detaillierte Kenntnis der Schwingungszust¨ ande in jeder Multipolordnung. Diese Schwin­
gungen besitzen am Horizont eine fraktale Natur, was durch eine analytische N¨ ahe­
rungsl¨ osung, die f¨ ur Horizontn¨ ahe g¨ ultig ist, gezeigt wird. Als Nebenprodukt ist durch
die L¨ osung der Laplacegleichung die Grundlage zur Behandlung von Randwertproble­
men der Statik geschaffen.
Dynamics of Electromagnetic Fields
in the Exterior Schwarzschild Metric
Abstract
Electrodynamic phenomena in the neighbourhood of the black hole horizon are exami­
ned. Therefore the analytical solution of Laplace's equation is achieved and the wave
equation is solved also mainly by analytical methods. The result is a detailed knowledge
of the oscillations in every multipole mode. Next to the horizon their nature becomes
fractal, which is shown by the analytically derived solution, that is valid in this region.
With the solution of Laplace's equation many electro­ and magnetostatic problems are
now tackable.


Inhaltsverzeichnis
1 Astronomischer Hintergrund 11
1.1 Das AGN Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Bisherige Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Ziel dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Cartan'scher Formalismus 14
2.1 Definition von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 ¨
Auúeres Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Duale Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Basisdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Inneres Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Hodge Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 ¨
Auúere Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Rotierende Schwarze L¨ ocher 17
3.1 Die Kerr'sche L¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Nichtbewegte Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Starfixed System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2 ZAMO System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.3 Frame­Dragging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.4 Globales Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Der 3+1 Split der Maxwellgleichungen 24
4.1 Der 3+1 Split im allgemeinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Durchf¨ uhrung des Splits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Vereinfachung durch spezielle Eigenschaften der Kerr Metrik . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Achsensymmetrische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5 Die Dynamo­Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Magneto­ und Elektrostatik im Schwarzschildraum 31
5.1 Allgemeine L¨ osung der Laplacegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.1 Feld einer Kugel mit beliebiger Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.2 Split Monopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Wellen im Schwarzschildfall 36
7 Ergebnisse 45
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10 INHALTSVERZEICHNIS
A Mathematischer Teil 46
A.1 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.2 Die Funktionen der Kerr'schen Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.3 Die Lichtgeschwindigkeit in der N¨ ahe des Horizonts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.4 Wellengleichung f¨ ur das elektrische Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.5 Modifizierte Legendre Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Kapitel 1
Astronomischer Hintergrund
In dieser Arbeit werden die allgemein­relativistischen Gleichungen der Elektrodynamik bearbeitet.
Dabei wird als Hintergrund eine Schwarzschildmetrik angenommen, und eine Vacuumsituation
vorrausgesetzt. Die Resultate sind zum groúen Teil analytisch.
1.1 Das AGN Model
Das Spektrum gew¨ ohnlicher Galaxien enth¨ alt, als ¨
Uberlagerung der Einzelsternspektren, aus­
schlieúlich Absorptionslinien. Aktive Galaxien zeigen auúerdem noch Emission. Ein weiteres Kri­
terium f¨ ur die Unterscheidung zwischen aktiven und passiven Galaxien ist die Leuchtkraft. Akti­
ve Galaxien sind im allgemeinen wesentlich heller als passive. Dieses Kriterium nutzt man auch
zur Differenzierung der aktiven Galaxien untereinander. Die Strahlungsleistung dieser Galaxien
ist so hoch, daú sie nicht mehr durch die Summe der in diesen Gebieten beobachteten Sterne
erkl¨ art werden kann. Als Energieerzeugungsmechanismus wird heutzutage die Akkretion auf ein
Schwarzes Loch im Zentrum der aktiven Galaxie, das etwa 10 6 b