Задачки

Условие

Окружность пересекает все стороны треугольника. Докажите, что ее радиус больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.

Подсказка

Проведите касательные к окружности, параллельные сторонам исходного треугольника.

Решение

Проведем касательные к окружности, параллельные сторонам исходного треугольника. Треугольник, образованный касательными, подобен исходному треугольнику и содержит его строго внутри себя. Тогда и радиус окружности, вписанной в больший треугольник (это и есть наша окружность), будет больше, чем радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.

MMOnline