Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/vmsh/vmsh_7_1415/Vmsh_16=feb_05_lite.pdf Дата изменения: Thu Feb 5 10:58:26 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 20:36:44 2016 Кодировка: koi8-r

Московская Гимназия на Юго-Западе 1543

1. a) Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку так, что бы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа. б) Докажите, что числа от 1 до 16 нельзя записать по кругу так, что бы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа. 2. Ровно 472 года назад, 5 февраля 1543 года, в мире не было сделано ни одного рукопожатия. Докажите, что в этот день количество человек (не о бязательно живых), сделавших нечетное число рукопожатий за всю свою жизнь, четно. 3. В стране Тройка из каждого города выходит по три дороги, которые заканчиваются в других городах. Может ли в этой стране быть ровно сто дорог? 4. Двое по очереди ставят ладьи на клетки доски m в n так, что бы они не били друг друга. Тот, кто не может сделать хода | проигрывает. Кто по бедит при правильной игре { начинающий или его противник? 5. Сколько существует натуральных чисел, у которых самый большой делитель (не считая самого числа) равен 43? 6. Можно ли на доске 15 в 15 расставить a) 43; б) 44 ладьи так, что бы каждая била ровно три другие? 7. В классе 27 человек. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка | с пятью мальчиками. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? 8. Есть 2015 точек, не все они лежат на одной прямой. Про каждые четыре точки известно, что из них можно убрать одну так, что оставшиеся три будут лежать на одной прямой. Докажите, что все точки, кроме одной, лежат на одной прямой.

Серия 16-Lite. 05 февраля.

ВМШ

2014-2015

Материалы, а также полезная информация есть на сайте: http://s43.mccme.ru/math/ Московская Гимназия на Юго-Западе 1543 ВМШ 2014-2015

1. a) Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку так, что бы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа. б) Докажите, что числа от 1 до 16 нельзя записать по кругу так, что бы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа. 2. Ровно 472 года назад, 5 февраля 1543 года, в мире не было сделано ни одного рукопожатия. Докажите, что в этот день количество человек (не о бязательно живых), сделавших нечетное число рукопожатий за всю свою жизнь, четно. 3. В стране Тройка из каждого города выходит по три дороги, которые заканчиваются в других городах. Может ли в этой стране быть ровно сто дорог? 4. Двое по очереди ставят ладьи на клетки доски m в n так, что бы они не били друг друга. Тот, кто не может сделать хода | проигрывает. Кто по бедит при правильной игре { начинающий или его противник? 5. Сколько существует натуральных чисел, у которых самый большой делитель (не считая самого числа) равен 43? 6. Можно ли на доске 15 в 15 расставить a) 43; б) 44 ладьи так, что бы каждая била ровно три другие? 7. В классе 27 человек. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка | с пятью мальчиками. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? 8. Есть 2015 точек, не все они лежат на одной прямой. Про каждые четыре точки известно, что из них можно убрать одну так, что оставшиеся три будут лежать на одной прямой. Докажите, что все точки, кроме одной, лежат на одной прямой.

Серия 16-Lite. 05 февраля.

Материалы, а также полезная информация есть на сайте: http://s43.mccme.ru/math/