Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/vmsh/vmsh_7_1213/old.pdf Дата изменения: Wed Jan 16 20:24:30 2013 Дата индексирования: Mon Feb 4 21:55:20 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п

Гимназия 1543, ВМШ 7 класс

Старые задачи!
1.2b.

Может ли так быть, чтобы суммарные доходы компании за любые пять под-

ряд идущих месяцев 2013 года превышали расходы, но расходы за весь год превышали доходы?
1.5.

На складе ООО ?Петя, Вася и партн?ры? есть сувениры десяти разных ви-

дов. Однажды щедрый Петя решил сосчитать, сколько он сможет подарить разных подарков из 7 различных сувениров, а прижимистый Вася решил сосчитать, сколько он сможет подарить разных подарков из 3 различных сувениров. У кого из них получилось больше вариантов?
1.8.

Клетки квадрата

11 Ч 11

покрашены в белый цвет. Разрешается выбрать лю-

бые четыре белые клетки, расположенные в вершинах квадрата со сторонами, параллельными сторонам доски, и две из этих клеток, расположенных по диагонали, перекрасить в черный цвет. Какое наибольшее количество черных клеток удастся получить при помощи таких операций?
1.9.

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный

ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 77 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
2.6. 2.7.

Может ли степень двойки оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами? Билеты нумеруются от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если

сумма первых трех цифр равна сумме последних трех цифр. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 1001.
3.7.

Общая масса нескольких ящиков равна 9 т 880 кг, причем масса каждого из

них не превышает тонны. Какое наименьшее количество машин грузоподъемностью три тонны нужно, чтобы заведомо перевести весь этот груз?
3.8.

Дана таблица, состоящая из десяти строк и шестнадцати столбцов. В каж-

дом столбце стоят 3 фишки. Докажите, что найдутся четыре фишки, стоящие на пересечении двух строк и двух столбцов.
4.5.

Найдите все натуральные

n,

для которых все числа

3n - 4, 4n - 5

и

5n - 3

являются простыми.
4.6.

Прямоугольник, у которого одна из сторон втрое длиннее другой, разрезали

на одинаковые квадратики. Оказалось, что сумма их периметров в 6 раз больше периметра исходного прямоугольника. Сколько могло получиться квадратиков?
7.4.

Известно, что a-b = 3. Какие значения может принимать выражение a2 -b2 ? (Как обычно, нужно найти все варианты и показать, что других нет.)
7.5.

a+b

a2 +b2

На доске написано число 53. Каждую минуту его возводят в 1000 степень,

последние две цифры получившегося числа записывают на доске, а старое число стирают. Докажите, что рано или поздно числа начнут повторятся по циклу.
8.5.

b) Можно ли разбить квадрат на 8 прямоугольников одинаковой площади так, Сколькими способами можно расставить 4 ладьи на шахматной доске так, Сколько существует способов выпилить из шахматной доски прямоугольник,

чтобы каждый граничил ровно с 4 другими?
9.5.

чтобы каждая била ровно две?
10.7.

со сторонами, идущими по границам клеточек? (Можно вырезать из середины.)