Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2013_2014/8mat_1314/spec/04_maps.pdf Дата изменения: Sun Jan 12 19:22:28 2014 Дата индексирования: Sun Mar 2 01:02:18 2014 Кодировка: Windows-1251

из множества A в множество B называется правило, согласно которому каждому элементу a из множества A ставится в соответствие единственный элемент b из множества B . f : A - B и f (a) = b. Элемент b называется образом элемента a, элемента a является прообразом элемента b при отображении f . Множество учеников и множество стульев. Давайте сопоставим каждому ученику стул, на котором он сидит. Заметим, что если кто-то сидит на двух стульях или вообще не сидит ни на одном стуле, то наше сопоставление не будет отображением. Отметим, что так же остались стулья, на которых никто не сидит, но это не противоречит определению отображения. (отображение множества в себя) Сопоставим каждому натуральному числу, большего 1, его наименьший делитель отличный от 1. Тогда числу никакое число не сопоставиться числу 6, а число 3 будет сопоставлено бесконечно большому множеству чисел. Отображение f : A - B называется биекцией или взаимно однозначным соответствием множеств A и B , если выполнены следующие два условия: ћ для любых двух элементов a1 , a2 A, a1 = a2 верно, что f (a1 ) = f (a2 ); ћ для любого элемента b B существует элемент a такой, что f (a) = b. Первое свойство означает, что разные элементы при отображении переходят в разные, а второе что в каждый элемент что-то да перешло. Наконец-то мы дали строго определение взаимно однозначного соответствия. Легко проверить, что если множества A и B конечны и между ними есть биекция, то |A| = |B | (для этого достаточно воспользоваться пару раз принципом Дирихле). Учитывая определение, теперь мы знаем, что именно нужно проверять для того, чтобы доказать, что что-то является взаимно однозначным соответствием. Множество окружностей на плоскости и множество пар (A, r), где A точка на плоскости, r действительное число, большее 0. Множество положительных рациональных чисел и множество упорядоченных пар натуральных чисел (m, n) = 1. 1. Отображение f : N - N такое, что f (x) = 2x, не является биекцией. 2. Отображение f : N - N такое, что f (x) = [x/2] + 1, где [x/2] означает наибольшее целое число, не превосходящее x/2, не является биекцией. Пусть задано отображение f : A - B , где A и B конечные множества и |A| = |B | = n. Тогда f является биекцией если выполнено хотя бы одно из свойств в определении биекции. Пусть |A| = n и выполнено второе свойство. Предположим противное и f не является биекцией. Тогда не выпоняется первое свойство и существуют два элемента a1, a2 A такие, что a1 = a2, но f (a1) = f (a2) = b B . Тогда оставшиеся n - 2 элемента множества A могут перейти не более чем в n - 2 различных элемента множества B . Следовательно, найд?тся такой элемент множества B , в который ничего не перешло, противоречие.
Определение. Отображением

Основные определения

Отображения
f

Обозначения.

Пример.

Пример.

Определение.

Замечание.

Замечание.

Пример.

Пример.

Пример.

Теорема.

Доказательство.


Второй случай рассматривается аналогично. Пусть отображение f : A - B является биекцией. Определим обратное отображение f -1 из множества B в множество A по правилу f -1 (b) = a, если f (a) = b. Из свойств биекции следует, что обратное отображение определено (то есть любому b B что-то сопоставится), а во вторых определено корректно (то есть ни одному элементу из B не сопоставляется два элемента из A). Легко проверить, что обратное отображение также является биекцией. Проверить это.
Определение. Упражнение.