Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2013_2014/11bio_1314/ege/th06_C5_parametr_v_lob_11_nov.pdf Дата изменения: Sat Nov 16 00:14:55 2013 Дата индексирования: Sun Mar 2 02:34:44 2014 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: воздушные массы

Теория-06. На подступах к задаче С5.

Задачи с параметром. Решение в ло б.
Непосредственное решение задачи с параметром, как правило, приводит к большим вычислительным трудностям. Их о бходят, применяя различные соо бражения, которые мы рассмотрим на последующих занятиях. Однако, часто прямое, непосредственное решение задачи с параметром тоже оказывается нео бходимым (как элемент решения задачи) или допустимым (как альтернативный путь). Взглянув на задачу с параметром, подставим мысленно вместо a число 5 и спросим се бя: "Могу ли я решить такую задачу?" Если ответ утвердительный, спросим се бя с укором: "А что мне тогда мешает решить задачу с произвольным a?" И приступаем к решению, действуя с большой осторожностью и тщательно прописывая каждый шаг. При решении задачи с параметром необходимо написать несколько десятков слов на русском языке. Эти слова письменно изложат логику решения. Логику можно изложить и математическими символами, но школьнику такое изложение недоступно. Разберём подро бно один пример. Решение будем писать жирным шрифтом, размышления | курсивом помельче.

ЗАДАЧА. При каких a уравнение a-1 2x + 7 x + 6 = (x + 2)2 - x - 22 имеет корни, но не имеет положительных корней? Пре a- x+ о бразуем уравнение: 1= 2x + 7 6 (x + 2)2 - x - 22

Понятно, что мы должны привести дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби кажется каким-то подозрительным, не так ли?

a-1 2x + 7 x + 6 = x2 + 3x - 18

a-1 2x + 7 x + 6 = (x + 6)(x - 3)

Полезно разложить теперь этот знаменатель.

(a

-

1)(x - 3) - (2x + 7) = 0 (x + 6)(x - 3)

О, круто.


+4 При решении (1) подмывает написать x = 3a- 3 . Удержимся от этого. Ведь делить на ноль нельзя. a Нельзя и писать a = 3, потому что числу a, честно говоря, наплевать, что мы про него напишем. Оно нам не подчиняется и вполне может оказаться тройкою. Но поделить-то хочется, поэтому пишем так:

3)x - (3a + 4) = 0 (x + 6)(x - 3) Уравнение равносильно системе: (a - 3)x = 3a + 4 (1) (x + 6)(x - 3) = 0 (2)
-

(a

Если a = 3, уравнение (1) примет вид 0 = 13 и корней иметь не будет. +4 Если же a = 3, уравнение (1) имеет единственный корень x = 3a- 3 . От a этого корня тре буется, что бы он удовлетворял условию (2), а также не был положителен, то есть: 3a + 4 = -6 (3) a-3 3a + 4 = 3 (4) a-3 3a + 4 (5) a-3 0 Условие (4) можно отбросить | если тре бовать (5), то (4), конечно, выполнится. Решая (3), получим что 3a + 4 = 18 - 6a
a = 14 9 Неравенство ноль при a = -
-
Можно спокойно было умножать, мы же разбираем случай a = 3.

Тут мы рисуем схему [которую меня ломает набирать на компьютере :-) ] и получаем ответ:

(5) решим методом интервалов. Числитель о бращается в 4 , знаменатель | при a = 3. 3

C учётом a = 14 , получаем ответ. 9 Ответ: при a - 4 ; 14 14 ; 3 . 39 9
В принципе, всё несложно. Посмотрим только, что было бы, если бы мы не догадались разложить x2 + 3x - 18 на множители? Мы бы привели к общему знаменателю "в лоб" и получили бы вместо (1) такое уравнение: (a - 1)(x2 + 3x - 18) = (2x + 7)(x + 6)

4 3

a<3


Раскрыли бы скобки: (a - 1)x2 + 3(a -

1)x

-

18(a

-

1) = 2x2 + 19x + 42 =0 252a + 196

Получили бы жутковатое квадратное уравнение: (a - 3)x2 + (3a - 22)x - (18a + 24)

Отсеяли бы случай a = 3, а потом написали бы дискриминант: D = (3a - 22)2 + 4(a - 3)(18a + 24) = 81a2 - И он оказался бы полным квадратом! D = 81a2 - 252a + 196 = (9a - Написали бы корни, и получили бы x = справились бы. Но большой кровью, да.
-6

14)

2

+4 и x = 3a- 3 . И далее как в нашем решении. Так что a