Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2012_2013/11mat_1213/spec/Solutions02.pdf Дата изменения: Mon Oct 22 14:41:08 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 06:55:40 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п

Гимназия 1543, 11В класс

октябрь 2012

Многочлен P (x) имеет действительные коэффициенты, но не имеет действительных корней. Докажите, что количество его комплексных корней четно. Заметим, что если z корень многочлена P , то z тоже является ? корнем. Действительно:
Задача 43. Решение

Решения 2

P (z ) = an z n + a ? ? = an z n + a
n -1

n-1

zn ?

-1

+ ћ ћ ћ + a0 = an z n + a
n-1

n -1

z

n -1

+ ћ ћ ћ + a0 =

z

n -1

+ ћ ћ ћ + a0 = an z n + a

z

n -1

+ ћ ћ ћ + a0 = P (z )

Значит, все комплексные корни разбиваются на пары, следовательно их четное число. В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовало хотя бы четверо школьников этого класса. Докажите, что найд?тся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников этого класса принял участие по меньшей мере в 1/17 всех экскурсий От противного. Пусть таких экскурсий нет. Тогда на каждой экскурсии будет хотя бы один плохой школьник т.е. школьник который посетил менее 1/17 всех экскурсий. Каждый плохой школьник идет не более чем на 1/17 всех экскурсий, поэтому для того чтобы такие школьники заняли все экскурсии надо, чтобы их было хотя бы 18. Но тогда хороших школьников не более двух, значит на каждой экскурсии должно быть хотя бы два плохих школьников. Но так как каждый плохой посещает менее 1/17 всех экскурсий, то чтобы посетить все хотя бы по два раза нужно более 34 плохих школьников. А это невозможно.
3 задача, тургор, базовый тур Решение