Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2012_2013/11mat_1213/alg/a1109-1213-2-zam-predel.pdf Дата изменения: Thu Nov 8 19:53:53 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:10:08 2013 Кодировка: Windows-1251

Гимназия 1543

Второй замечательный предел и его следствия
x

11-В класс

Алгебра и математический анализ-5

27 октября 2012 г.

Второй замечательный предел. lim 1 +
Пусть
xa

1 x

x

=e
.
xa

Теорема об одновременном переходе к пределу
lim f (x) = A, lim g (x) = B
xa

, причем

f (x) > 0

. Тогда

lim f (x)g

(x)

=A

B

. заменить на

126. Как изменится теорема об одновременном переходе к пределу, если 127. Вычислите пределы: а)
2x
2

A

и/или

B



?

x

lim

2x + 5 2x + 1

x+1

;

б)

x

lim

x2 + 1 x2 - 2

;

в)

x

lim

x2 + 2x - 1 2x2 - 3x - 2
1 x

2x-1 x+1

;

г)

x0

lim (1 - 2x)

1 x

.

128. а) Укажите промежутки непрерывности функции

f (x) = (1 + x)

; б) Доопределите эту функции по непре-

рывности в нуле; в) Докажите первое следствие из первого замечательного предела.

Следствие 1. lim

x0

ln(1 + x) =1 x

129. Постройте в одной системе координат графики функций 130. Вычислите пределы: а)
x0

y = log2 (1 + x), y = log3 (1 + x)
2x

и

y = x.

lim

ln(1 + sin 4x) ; 5x
x0

б)

x0

lim

ln(1 + sin 3x) ; ln(1 + tg 4x)

в)

x
4

lim (tg x)tg

.

Следствие 2. lim
а)

ex - 1 = 1. x

131. Вычислите пределы:
x0

lim

e2 x - 1 ; 4x - 2

б)

x0

lim

e

ax

-e x

bx

;

в)

xb

lim

132. Вычислите пределы: а)
x

Домашнее задание
1 x-1

ax - ab ; x-b

г)

xa

lim

ln x - ln a . x-a

lim

x2 - x + 1 x2 + x + 1

x

;

б)

x0

lim (3x + 2)

;

в)

x

lim
4

e

sin x

- ecos x . x- 4
27 октября 2012 г.

Гимназия 1543

Второй замечательный предел и его следствия
x

11-В класс

Алгебра и математический анализ-5

Второй замечательный предел. lim 1 +
Пусть
xa

1 x

x

=e
.
xa

Теорема об одновременном переходе к пределу
lim f (x) = A, lim g (x) = B
xa

, причем

f (x) > 0

. Тогда

lim f (x)g

(x)

=A

B

. заменить на

126. Как изменится теорема об одновременном переходе к пределу, если 127. Вычислите пределы: а)
2x
2

A

и/или

B



?

x

lim

2x + 5 2x + 1

x+1

;

б)

x

lim

x2 + 1 x2 - 2

;

в)

x

lim

x2 + 2x - 1 2x2 - 3x - 2
1 x

2x-1 x+1

;

г)

x0

lim (1 - 2x)

1 x

.

128. а) Укажите промежутки непрерывности функции

f (x) = (1 + x)

; б) Доопределите эту функции по непре-

рывности в нуле; в) Докажите первое следствие из первого замечательного предела.

Следствие 1. lim

x0

ln(1 + x) =1 x

129. Постройте в одной системе координат графики функций 130. Вычислите пределы: а)
x0

y = log2 (1 + x), y = log3 (1 + x)
2x

и

y = x.

lim

ln(1 + sin 4x) ; 5x
x0

б)

x0

lim

ln(1 + sin 3x) ; ln(1 + tg 4x)

в)

x
4

lim (tg x)tg

.

Следствие 2. lim
а)

ex - 1 = 1. x

131. Вычислите пределы:
x0

lim

e2 x - 1 ; 4x - 2

б)

x0

lim

e

ax

-e x

bx

;

в)

xb

lim

132. Вычислите пределы: а)
x

Домашнее задание
1 x-1

ax - ab ; x-b

г)

xa

lim

ln x - ln a . x-a

lim

x2 - x + 1 x2 + x + 1

x

;

б)

x0

lim (3x + 2)

;

в)

x

lim
4

e

sin x

- ecos x . x- 4