Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2011_2012/11mat_1112/alg/a1105-1112-vypuklost.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:30:12 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 07:56:56 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: каскад кембла

Гимназия 1543

Исследование функции с помощью второй произодной
Выпуклость функции

11-В класс

Математический анализ-3

24 сентября 2011 г.

Определение. Функция y = f (x), непрерывная на интервале (a; b), называется выпуклой вверх на этом интервале, если ее график расположен не выше любой своей касательной на этом интервале. Функция y = f (x), непрерывная на интервале (a; b), называется выпуклой вниз на этом интервале, если ее график расположен не ниже любой своей касательной на этом интервале. Определение. Функция y = f (x), непрерывная на интервале (a; b), называется строго выпуклой вверх на этом интервале, если ее график расположен ниже любой своей касательной на этом интервале ( за исключением лишь самой точки касания ). Аналогично определяется строгая выпуклость вниз. Достаточное условие выпуклости. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и во всех точках интервала (a; b) f (x) 0, то функция на этом интервале выпукла вверх, если же f (x) 0 выпукла вниз. Достаточное условие строгой выпуклости-1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и во всех точках интервала (a; b) f (x) < 0, то функция на этом интервале строго выпукла вверх, если же f (x) > 0 - строго выпукла вниз. 57. Покажите с помощью контрпримера, что это условие строгой выпуклости не является необходимым. Заметим, что при доказательстве условия строгой выпуклости использовалось не само условие f (x) < 0 или f (x) > 0, а строгое убывание (возрастание) первой производной. Это позволяет ослабить условие так: Достаточное условие строгой выпуклости-2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и во всех точках интервала (a; b) f (x) 0 (f (x) 0), причем f (x) = 0 лишь в конечном числе точек, то функция на этом интервале строго выпукла вверх (вниз). Использование термина "выпуклость"объясняет следующая Теорема. Если функция на интервале (a; b) выпукла вниз (вверх), то то ее график на этом интервале расположен под (над) хордой АВ, где A(a, f (a)), B (b, f (b)).

58. а) Найдите для функции y = x3 - 3x2 интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз. б) Сопоставьте ответы этой задачи и решенной ранее: "Найдите уравнение касательной к графику функции y = x3 - 3x2, имеющей единственную общую точку с графиком этой функции." Определение. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его часть, выпуклую вверх, от части, выпуклой вниз, называется точкой перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Пусть функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a; b). Тогда если точка x0 (a; b) является точкой перегиба графика функции f (x), то f (x) = 0. 59. Является ли это условие достаточным? Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема в проколотой окрестности точки x0 и дифференцируема в самой точке x0. Если при переходе через точку x0 вторая производная меняет знак, то точка x0 является точкой перегиба для графика функции f (x). 60. Докажите, что если в точке перегиба есть касательная, то график функции переходит в этой точке с одной стороны касательной на другую. 61. Верно ли, что если график функции переходит в точке касания с одной стороны касательной на другую, то эта точка точка перегиба? 62. Постройте график функции y = x3 - 3x2 (для этого найдите ее нули, исследуйте на монотонность и экстремумы, а также на выпуклость и точки перегиба). Постройте касательную к графику в точке x0 = 1. 63. Исследуйте функции на выпуклость и точки перегиба: а) y = x x 12 ; б) y = 4x3 - 12x. + 64. Найдите нули функции, исследуйте ее на монотонность и экстремумы, а также на выпуклость и точки перегиба. Затем постройте график. а) y = (x - 2)2(x + 2); б) y = 2x3 - x2 + 4x; в) y = x4 + 4x3.
3 2

Точки перегиба