Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2011_2012/11mat_1112/alg/a1101-1112-extrem.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:30:06 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 07:39:14 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Гимназия 1543

11-В класс

Экстремальные задачи

Математический анализ-1

2 сентября 2011 г.

Экстремумы. Критические точки. Необходимое условие существования экстремума

Определение. Функция y = f (x) в точке x0 имеет максимум (минимум), если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значения во всех точках вблизи x0 , т.е. если для всех точек x некоторой проколотой окрестности точки x0 имеет место неравенство f (x) < f (x0 ) (f (x) > f (x0 )). Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции. Данные выше определения описывают строгие локальные экстремумы. В определении нестрогих экстремумов вместо строгих неравенств используются нестрогие. Теорема Ферма (Необходимое условие существования экстремума). В точке экстремума производная функции либо равна нулю, либо не существует. 1. Истолкуйте теорему Ферма геометрически. 2. Проверьте, что теорема Ферма верна как для строгого, так и для нестрогого экстремума. 3. а) Пусть функция непрерывна, но недифференцируема в точке x0 . Обязательно ли она имеет в этой точке экстремум? б) Пусть функция имеет нулевую производную в точке x0 . Обязательно ли она имеет в этой точке экстремум? Определение. Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками. 4. Найдите критические точки функции. Являются ли они точками минимума или максимума? Изобразите схематически графики. а) f (x) = |x|; б) f (x) = x; в) f (x) = x2 . 5. Найдите критические точки функции: а) f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 5; б) f (x) = x2 (x - 5); в) f (x) = x +x1 . 6. Найдите критические точки функции y = 4x - sin 2x + 4 2 cos x.
3 3 3

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Напомним теорему Вейерштрасса: функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своих точных верхней и нижней граней. Из теоремы Ферма следует, что это может происходить либо в критических точках, либо на концах отрезка. 1 7. Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих функций: а) f (x) = x + x на отрезке [0, 01; 90]; x- б) f (x) = x + 3 x + 11 + 2 на отрезке [-3; 3]; в) f (x) = x + 1 на отрезке [-0, 8; 4]. 1 4 Замечания. 1) Функция f (x) принимает наибольшее (наименьшее) значение в той же точке, что и функции: f (x) + c; kf (x), где k > 0; f n (x), где n N, f (x) 0. 2) Если функция f (x) принимает в некоторой точке наибольшее (наименьшее) значение, то функции 1 -f (x) и (при условии f (x) > 0) принимают в этой же точке наименьшее (наибольшее) значения. f (x)
2

8. 9. 10. 11.

Найдите наименьшее значение функции f (x) = - cos x - Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = x Найдите наименьшее из значений, принимаемых функцией y Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = x 5 [-4; - ]. 4 12. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y =
2



3 x 2

ln = +

на отрезке [0; ]. x - x ln 5 на отрезке [1; 5]. 4 x+ на отрезке [0; 5], x = 2. (x - 2) (x2 + 6x + 9)(x2 + 2x + 1) на отрезке
2

ex sin x

на отрезке

[0;

5 ] 6

.

Экстремальные задачи

13. Сопротивление изгибу балки прямоугольного сечения пропорционально ее ширине x и квадрату высоты y : P = kxy 2 . Какое сечение должна иметь балка, вырезанная из цилиндрического бревна радиуса R?
Следующие три задачи в учебнике Виленкина решены с помощью производной. А как их решить элементарно?


14. Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить забором длины 2p? 15. Найдите прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность радиуса R. 16. Луч света движется из одной точки в другую, отражаясь от плоского зеркала. При этом он "выбирает"путь наименьшей длины. Докажите, что в таком случае угол падения равен углу отражения. 17. В круг радиуса R впишите равнобедренный треугольник наибольшей площади. 18. При каких размерах прямоугольная коробка без крышки с квадратным основанием и полной поверхностью S имеет наибольший объем? 19. Найдите радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R. 20. Если батарея с ЭДС E и внутренним сопротивлением r замкнута проводником с сопротивлением R, то мощность получающегося тока выражается формулой W = (RE+R ) . При каком значении R мощность r будет наибольшей? 21. Найдите расстояние от точки M (0; -2) до кривой y = 16 - 2, x > 0. 3x 22. Найдите координаты точки, лежащей на графике функции y = 1 + cos x при 0 x и наименее удаленной от прямой x 3 + 2y + 4 = 0.
2 2 3

Домашнее задание

23. Продифференцируйте функции: a) 4tg x ; б) log2 (arccos x); в) (cos 2x)ctg x . 24. Напишите уравнения такой касательной к графику y = x3 + 2x, для которой существует параллельная касательная к графику y = sin 2x. 1 25. Найдите координаты точек пересечения с осью x тех касательных к графику функции y = x + 3 , которые x- образуют угол 34 с осью x. 1 26. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 3 t3 + t2 - 9t - 9, где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 54 м/с? 27. Найдите критические точки функции: а) f (x) = x4 - 2x2 + 3; б) f (x) = (x - 1)2 (x - 6)3 ; в) f (x) = (x - 1)2 + (x + 1)2 . 28. Найдите критические точки функции y = sin x - 2 sin 3x + 1 sin 5x. 3 5 29. Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих функций: а) f (x) = 2x3 - 3x2 - 36 + 10 на отрезке [-5; 4]; б) f (x) = 5 cos x - cos 5x на отрезке [- ; ]; 44 в) y = x3 - 2x|x - 2| на отрезке [0; 3]. 30. Из проволоки длиной 24 см надо сделать модель прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. При каких размерах сторон объем параллелепипеда будет наибольшим? 31. Заданы периметр P и длина a одной из сторон треугольника. Какие длины должны иметь две другие стороны, чтобы его площадь была наибольшей? 32. Найдите наименьший возможный объем конуса, описанного вокруг полушара радиуса R. 1 33. Касательная к графику функции f (x) = x такова, что абсцисса точки касания принадлежит отрезку [5; 9]. Найдите наибольшую возможную площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью O x и вертикальной прямой x = 4. 34. В равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 1 и основанием a вписан прямоугольник наибольшей площади. Чему равна его площадь в зависимости от a? При каком a площадь наибольшего прямоугольника будет наибольшей? 35. Освещенность в данной точке пропорциональна силе света источника и обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до этого источника. В точках O1 и O1 , удаленных друг от друга на расстояние a, помещены источники, имеющие соответственно силу света I1 и I2 . Найдите наименее освещенную точку отрезка O1 O2 . 36. В первую бочку налито 16 кг раствора соли, а во вторую 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли в первой бочке уменьшилось в m раз, а во второй в n раз. Известно, что mn = m + n + 3. Найдите наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе.
3 3

2