Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2011_2012/10mat_1112/alg/a1022-1112-proizvodnaja-2.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:28:38 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:13:49 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п р п

Гимназия 1543

10-В класс
Производная-2

24 марта 2012 г.

Дифференциал Рассмотрим функцию y = f (x). Зафиксируем x0 и рассмотрим приращение функции f = f (x0 + x) - f (x0 ) при x 0. Если f (x) непрерывна в точке x0 , то и f 0. Определение. Если f = kx + o(x), то выражение kx называют дифференциалом функции f (x) в точке x0 и обозначают df (x) или dy. Замечание 1. Дифференциал линейная относительно x часть приращения функции. Замечание 2. df отличается от f на бесконечно малую более высокого порядка, чем x. 12. Истолкуйте геометрический смысл дифференциала с помощью касательной. Теорема. У функции f (x) есть дифференциал в точке x0 тогда и только тогда, когда в точке x0 у нее есть конечная производная. При этом коэффициент k из определения дифференциала равен f (x0), т.е. dy = f (x)x. 13. Найдите дифференциалы функций y = x, y = 2x + 3. dy Как только что проверено, dx = x. Поэтому dy = f (x)dx или f (x) = dx . Для приближенного вычисления значения функции можно заменить приращение функции на ее дифференциал (а соответствующий участок графика на отрезок касательной). При этом в формуле f (x0 + x) = f (x0) + dx + o(x) отбрасывается o(x), откуда получается приближенное равенство f (x0 + x) f (x0) + dx = f (x0) + f (x0)x. 14. Вычислите приближенно 2, 0143. Оцените погрешность и оставьте только верные цифры. 15. (д/з) Вычислите приближенно 26; 26. Сравните результат с мнением калькулятора. Физический смысл производной Как уже отмечалось, мгновенная скорость равна производной координаты по времени. А какая физическая величина соответствует второй производной координаты по времени? 16. Закон движения точки по оси Ox задается формулой x = 10t + 5t2, где t время в секундах, а x расстояние в метрах. Найдите скорость и ускорение точки в момент t = 20. 17. а) По данным графикам зависимости координаты от времени начертите графики зависимости скорости и ускорения от времени. б) По данным графикам скорости начертите графики координаты и ускорения. 18. Определите понятие мгновенной угловой скорости вращения и дайте выражение этой скорости через производную. Аналогично с помощью производной определяется мгновенная скорость изменения массы вещества в процессе радиоактивного распада, растворения в воде и т.п. Вообще, производная есть мгновенная скорость изменения функции. Физические величины могут меняться не только с течением времени. Например, масса однородного стержня длины x равна m(x) = kx, где k линейная плотность стержня, одинаковая по всей его длине. Если же стержень неоднороден, то средняя линейная плотность участка от m(x + h) - f (x ) , а линейная плотность в точке x0 равна m (x0) x0 до x0 + h равна kср. = h 19. Определите понятие перепада температуры в данной точке неравномерно нагретого стержня и выразите его через производную. 20. Определите понятие силы переменного тока в данный момент времени и выразите его через производную. 21. Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента t = 0, выражается формулой q(t) = 3t2 - 2t. Вычислите силу тока в конце шестой секунды.
3 0 0


22. Тело, брошенное вертикально вверх с высоты h0 с начальной скоростью v0, движется по закону gt . Найдите высоту тела в момент времени, когда скорость тела в 2 раза h(t) = h0 + v0 - 2 меньше первоначальной, если h0 = 4м, v0 = 3м/с и g 10м/с2. Дифференцирование тригонометрических функций
2

23. Найдите производные тригонометрических функций: а) y = sin x; б) y = cos x; в) y = tg x; г) y = ctg x. 24. Докажите, что производная четной дифференцируемой функции есть нечетная функция, а производная нечетной дифференцируемой функции есть четная функция. 25. Докажите, что производная периодической дифференцируемой функции есть периодическая функция с тем же периодом. 26. Найдите производные функций: а) y = sin 2x; б) y = cos2 x; в) y = tg 3x - ; г) y = x ctg x. 4 27. Продифференцируйте функцию. а) y = sin 2x cos x - cos 2x sin x; в) y = sin(cos x); д) y = 1 - cos x ; 1 + cos x 2 x; г) y = ctg x + tg x; е) y = 1 - sin x . б) y = 1 - cos x + 0, 25 cos cos x

Производная обратной функции Теорема. Пусть функция y = f (x) в некоторой окрестности точки x0: 1) имеет непрерывную обратную функцию x = g(y); 2) имеет ненулевую производную, Тогда обратная функция x = g(y) дифференцируема в точке y0 = f (x0), причем

gy =

1 fx

.
;

28. Докажите, что формула (x) = x-1 верна не только для N, но и: а) для б) для всех R. 29. Вычислите производные следующих функций: а) y = xx; б) y = x1x . 30. Получите формулы производных обратных тригонометрических функций. 31. Вычислите производные следующих функций: а) y = arctg 2; x в) y = arcsin(sin x); д) y = arcsin x + arccos x; 2 б) y = arcctg x; г) y = arcsin x ћ arccos x е) y = arccos 1 +xx .
8 3

Q

2