Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2011_2012/10mat_1112/alg/a1018-1112-lim-nepr-function-zachet.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:28:25 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:27:57 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п

Зачет по теме "Предел и непрерывность функции"
1. Определение предела функции на бесконечности по Коши и по Гейне. 2. Докажите, что функция не может иметь двух различных пределов при x +. Докажите, что функция не может иметь двух различных пределов в точке. 3. Определение предела функции в точке по Коши и по Гейне. Доказательство их эквивалентности. 4. Арифметические свойства пределов. 5. Теорема о предельном переходе для функций. 6. Теорема "о двух милиционерах"для функций. 7. Определение бесконечно большой при x + функции. Докажите, что функция f (x) является 1 бесконечно большой при x + тогда и только тогда, когда функция бесконечно мала при f (x) x +. 8. Определение функции, бесконечно большой в точке a. Докажите, что функция f (x) является беско1 нечно большой в точке a тогда и только тогда, когда функция бесконечно мала в точке a.
f (x)

9. Функция, непрерывная в точке. Критерий непрерывности. Непрерывность по Коши и по Гейне. Односторонняя непрерывность. 10. Классификация точек разрыва. Примеры. 11. Теоремы о сумме, разности, произведении и частном непрерывных функций. 12. Функция Дирихле. Исследуйте функцию Дирихле на непрерывность. Какого рода у нее разрывы? 13. 14. Приведите пример функции, определенной на R и непрерывной только в конечном числе точек. 15. Приведите пример функции, определенной на R, непрерывной в целых точках и разрывной в остальных.

Зачет по теме "Предел и непрерывность функции"
1. Определение предела функции на бесконечности по Коши и по Гейне. 2. Докажите, что функция не может иметь двух различных пределов при x +. Докажите, что функция не может иметь двух различных пределов в точке. 3. Определение предела функции в точке по Коши и по Гейне. Доказательство их эквивалентности. 4. Арифметические свойства пределов. 5. Теорема о предельном переходе для функций. 6. Теорема "о двух милиционерах"для функций. 7. Определение бесконечно большой при x + функции. Докажите, что функция f (x) является 1 бесконечно большой при x + тогда и только тогда, когда функция бесконечно мала при f (x) x +. 8. Определение функции, бесконечно большой в точке a. Докажите, что функция f (x) является беско1 нечно большой в точке a тогда и только тогда, когда функция бесконечно мала в точке a.
f (x)

9. Функция, непрерывная в точке. Критерий непрерывности. Непрерывность по Коши и по Гейне. Односторонняя непрерывность. 10. Классификация точек разрыва. Примеры. 11. Теоремы о сумме, разности, произведении и частном непрерывных функций. 12. Функция Дирихле. Исследуйте функцию Дирихле на непрерывность. Какого рода у нее разрывы? 13. 14. Приведите пример функции, определенной на R и непрерывной только в конечном числе точек. 15. Приведите пример функции, определенной на R, непрерывной в целых точках и разрывной в остальных.


Билет 1
1. Теорема о предельном переходе для функций. 2. Может ли функция иметь два различных предела в данной точке? 3. Будем считать доказанной непрерывность функции y = cos x на R. Ограничена ли функция 1 1 y = cos в окрестности точки 0? Является ли эта функция бесконечно большой в точке 0?
x x

Билет 2
1. Докажите, что если в соответствии с определением по Коши lim f (x) = b , то и в соответствии с xa определением по Гейне тоже. 2. Может ли функция, определенная на R, быть непрерывна ровно в двух точках и разрывна во всех остальных? 3. Будем считать доказанной непрерывность функции y = sin x на R. Исследуйте на непрерывность 1 1 функции y = sin и y = x sin .
x x

Билет 3
1. Докажите, что если в соответствии с определением по Гейне lim f (x) = b , то и в соответствии с xa определением по Коши тоже. 2. Функция Дирихле. Исследуйте функцию Дирихле на непрерывность. Какого рода у нее разрывы? 3. Будем считать доказанной непрерывность функции y = sin x на R. Исследуйте на непрерывность 1 1 функции y = sin и y = x sin .
x x

Билет 4
1. Определение бесконечно большой при x + функции. Докажите, что функция f (x) является 1 бесконечно мала при бесконечно большой при x + тогда и только тогда, когда функция f (x) x +. 2. Может ли функция, определенная на R, быть непрерывной в целых точках и разрывной в остальных? 3. Пусть f (x) = sin , g (x) = x3 . Существует ли такая последовательность xn 0, что
n

lim f (x) =

1 1543

1 x

? А такая, что lim g (x) =
n

1 1543

?

Билет 5
1. Определение функции, бесконечно большой в точке a. Докажите, что функция f (x) является беско1 нечно большой в точке a тогда и только тогда, когда функция бесконечно мала в точке a.
f (x)

2. Докажите арифметические свойства предела функции в точке. 3. Пусть f (x) = sin , g (x) = x3 . Существует ли такая последовательность xn 0, что
n

lim f (x) =

1 1543

1 x

? А такая, что lim g (x) =
n

1 1543

?

Билет 6
1. Теорема "о двух милиционерах"для функций. 2. Может ли функция иметь два различных предела при x +? 3. Будем считать доказанной непрерывность функции y = cos x на R. Ограничена ли функция 1 1 y = cos в окрестности точки 0? Является ли эта функция бесконечно большой в точке 0?
x x


Докажите, пользуясь определением непрерывности по Коши, непрерывность функции f (x) = [0; +).

Задача на 5

n x на

Докажите, пользуясь определением непрерывности по Коши, непрерывность функции f (x) = [0; +).

Задача на 5 Задача на 5 Задача на 5 Задача на 5 Задача на 5 Задача на 5 Задача на 5 Задача на 5 Задача на 5

n x на

Докажите, пользуясь определением непрерывности по Коши, непрерывность функции f (x) = [0; +).

n x на

Докажите, пользуясь определением непрерывности по Коши, непрерывность функции f (x) = [0; +).

n x на

Докажите, пользуясь определением непрерывности по Коши, непрерывность функции f (x) = [0; +).

n x на

Докажите, пользуясь определением непрерывности по Коши, непрерывность функции f (x) = [0; +).

n x на

Докажите, пользуясь определением непрерывности по Коши, непрерывность функции f (x) = [0; +).

n x на

Докажите, пользуясь определением непрерывности по Коши, непрерывность функции f (x) = [0; +).

n x на

Докажите, пользуясь определением непрерывности по Коши, непрерывность функции f (x) = [0; +).

n x на

Докажите, пользуясь определением непрерывности по Коши, непрерывность функции f (x) = [0; +).

n x на

Придумайте функцию, определенную на всей числовой оси, и имеющую предел только в точках вида , n где n N.

Задача на 5+

1

Придумайте функцию, определенную на всей числовой оси, и имеющую предел только в точках вида , n где n N.

Задача на 5+ Задача на 5+ Задача на 5+

1

Придумайте функцию, определенную на всей числовой оси, и имеющую предел только в точках вида , n где n N.
1

1

Придумайте функцию, определенную на всей числовой оси, и имеющую предел только в точках вида , n где n N.