Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2011_2012/10mat_1112/alg/a1016-1112-nepr-function.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:28:20 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:10:29 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Гимназия 1543

Односторонние пределы Определение. Пусть функция f (x) определена на интервале (a жительного c. Тогда число b называется пределом слева функции
xa-0

Непрерывность функции
10-В класс

9 февраля 2012 г.

lim f (x),

если

- c; a) для некоторого полоf (x) в точке a и обозначается ( > 0)( = ())((a - < x < a) (|f (x) - b| < )).

21. Дайте определение предела функции справа. 22. Докажите, что функция имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке пределы как слева, так и справа, причем эти пределы совпадают. 23. Изобразите графики функций, которые бы в точке x0 = 2: а) имели бы предел слева, но не имели бы предела справа; б) имели бы разные пределы слева и справа.

О пределе монотонной функции
f (x)
x+

24. Докажите, что
на луче

если функция

не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу)

(a; +),

то существует

lim f (x).

25. Верно ли, что если функция f (x) не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) на интервале (a; b), то она имеет предел в каждой точке этого интервала? 26. Пусть функция f (x) не убывает и ограничена сверху на интервале (a; b). Тогда существует lim f (x). xb-0 27. Сформулируйте аналогичную теорему для невозрастающей функции. 28. Докажите, что функция, монотонная на интервале (a; b), имеет в каждой точке этого интервала предел как слева, так и справа.

Определение непрерывной функции Определение. Функция f (x) называется непрерывной в точке x , если
0 xx0

lim f (x) = f (x0 ).

. Функция f (x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции (т.е. x-lim 0(f (x) - f (x0)) = 0) x 29. Сформулируйте определение непрерывной функции на языке " - " и сделайте соответствующий чертеж. 30. Дайте определение непрерывной функции по Гейне. 31. Сформулируйте определение функции, непрерывной слева (справа). Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. (Непрерывность в конце отрезка предполагается односторонней) Ранее было показано, что многочлен непрерывен на R, а рациональная функция на всей области определения. Вот более общее утверждение: Теорема. Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x0 . Тогда в этой точке непрерывны и функции f (x) + g(x), f (x) - g(x), f (x)g(x), (f (x))n, где n N. Если g(x) = 0, то x непрерывна и функция f((x)) . g
Критерий непрерывности
0


32. Докажите, что функция: а) деления.
Определение

f (x) =



x

; б)

f (x) = |x|

непрерывна на всей области опре-

. Пусть функция f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 и не является в точке x0 непрерывной. Тогда точка x0 называется точкой разрыва функции f (x). 33. Сформулируйте определение точки разрыва на языке " - ". Классификация точек разрыва. Пусть x0 является точкой разрыва функции f (x). Если в точке x0 существуют конечные пределы функции f (x) как слева, так и справа, то x0 называется точкой разрыва первого рода, в противном случае второго рода. Разрыв первого рода называется устранимым, если xa-0 f (x) = xa+0 f (x). При этом lim lim f (x) может либо отличаться от этих пределов, либо вообще не существовать. Неустранимый разрыв первого рода называется конечным скачком. В этом случае конечные пределы функции f (x) слева и справа существуют, но не равны друг другу. Точка разрыва второго рода называется полюсом, если оба односторонних предела в ней равны + и существенно особой точкой в противном случае. 34. Приведите примеры функций, имеющих описанные виды разрыва.

Точки разрыва

Примеры непрерывных и разрывных функций

x] 35. Исследуйте на непрерывность следующие функции: а) y = [x]; б) y = {x}; в) y = {[x} ; 1 г) y = x при |x| > 1 и y = x2 при |x| 1. Определение. Композиция двух функций f (x) = g ((x)) называется сложной функцией. 36. Пусть f (x) = cos x; g(x) = 2x - 3; (x) = x. а) Задайте формулой функции g((x)); (fg(x))). ( б) Запишите в виде композиции функции cos x; 2cos x - 3. 37. Верно ли равенство: а) x |2x| = | x 2x|; б) x [2x] = [x 2x]? lim lim lim lim Лемма. Пусть f (x) = g ((x)) сложная функция, причем lim (x) = b, а g (x) непреxx рывна в точке b. Тогда xlim g((x)) = g(xlim (x)). (Знак непрерывной функции и знак x x предела можно менять местами ) Теорема о непрерывности сложной функции. Пусть функция (x) непрерывна в точке x0 , а функция g(x) непрерывна в точке (x0). Тогда сложная функция g((x)) непрерывна в точке x0. 38. Вычислите пределы: а) x2 x - x-+17 - 4 ; б) xlim3 1x- |x| . lim x +1 - 39. Пусть функции g(x) и (x) определены на R, причем xlim (x) = b, а xb g(x) = c. lim x Верно ли, что если композиция g((x)) непрерывна на R, то xlim g((x)) = c? x 40. Функция Дирихле. D(x) = 1 для x Q, и D(x) = 0 для x R \ Q. Исследуйте функцию Дирихле на непрерывность. Какого рода у нее разрывы? 41. Приведите пример функции, определенной на R и: а) разрывной только в одной точке; б) разрывной в каждой точке; в) непрерывной ровно в одной точке; г) непрерывной ровно в двух точках. 42. Приведите пример функции, определенной на R и: а) разрывной в целых точках и непрерывной в остальных; б) непрерывной в целых точках и разрывной в остальных.
1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 2 2 0 0