Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2010_2011/11mat_1011/spec/s206.doc Дата изменения: Sun Sep 2 21:22:46 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 05:10:38 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п р р р р р р р р р р р р р р р р р р

Вариант ММО-2007 (16.02.11)
1. Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в
каком-либо порядке числами 1, 2,., 20. Если секторы занумерованы, например
(как при игре в дартс), в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16,
7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между
номерами соседних (по кругу) секторов равна 12-9=3 (из большего числа
вычитается меньшее). Может ли указанная величина при нумерации в другом
порядке быть больше 3? Каково наибольшее возможное значение этой величины?
2. Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений
|4x-4-x=2cos ax, |4x+4-x=2cos ax+4 |


равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
4. Точка O лежит в основании A1A2.An пирамиды SA1A2. An, причем
SA1=SA2=.=SAn и угол SA1O= углу SA2O=.= углу SAnO. При каком наименьшем
значении n отсюда следует, что SO - высота пирамиды?
5. Квадрат состоит из n x n клеток: две противоположные угловые клетки -
черные, а остальные - белые. Какое наименьшее количество белых клеток
достаточно перекрасить в черный цвет, чтобы после этого с помощью
преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца
или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать черными
все клетки этого квадрата?
7. Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса
выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его
периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от
него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка
угадать периметр многоугольника:
а) через 3 шага с точностью до 0,3?

Домашнее задание:

а) Попробовать доделать вариант

б)
3. Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если
оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1? Найдите все возможные
значения этого произведения.
6. Точки A', B' и C' - середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC
соответственно, а BH - его высота. Докажите, что если описанные около
треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, отличную от H,
то угол ABM=углуCBB'.
Вариант ММО-2007 (16.02.11)
1. Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в
каком-либо порядке числами 1, 2,., 20. Если секторы занумерованы, например
(как при игре в дартс), в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16,
7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между
номерами соседних (по кругу) секторов равна 12-9=3 (из большего числа
вычитается меньшее). Может ли указанная величина при нумерации в другом
порядке быть больше 3? Каково наибольшее возможное значение этой величины?
2. Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений
|4x-4-x=2cos ax, |4x+4-x=2cos ax+4 |


равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
4. Точка O лежит в основании A1A2.An пирамиды SA1A2. An, причем
SA1=SA2=.=SAn и угол SA1O= углу SA2O=.= углу SAnO. При каком наименьшем
значении n отсюда следует, что SO - высота пирамиды?
5. Квадрат состоит из n x n клеток: две противоположные угловые клетки -
черные, а остальные - белые. Какое наименьшее количество белых клеток
достаточно перекрасить в черный цвет, чтобы после этого с помощью
преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца
или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать черными
все клетки этого квадрата?
7. Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса
выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его
периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от
него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка
угадать периметр многоугольника:
а) через 3 шага с точностью до 0,3?

Домашнее задание:

а) Попробовать доделать вариант

б)
3. Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если
оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1? Найдите все возможные
значения этого произведения.
6. Точки A', B' и C' - середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC
соответственно, а BH - его высота. Докажите, что если описанные около
треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, отличную от H,
то угол ABM=углуCBB'.