Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2010_2011/10mat_1011/spec/10-exam-progr%20(2).pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:16:13 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 07:55:47 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п

Гимназия 1543, 10-В класс.

Программа экзамена по математическому спецкурсу.
1) Уравнение Пелля. Групповая структура на множестве решений. Доказательство того, что любое положительное решение уравнения Пелля есть степень фундаментального. 2) Неравенство Бернулли. Предел последовательности. Существование сходящейся подпоследовательности у любой ограниченной последовательности. Сходимость

1+

1 n

n

.

3) Подстановки и самосовмещения. Симметрическая группа. Самосовмещения многоугольников как подстановки множества их вершин. Количество самосовмещений правильных

n

-угольников и платоновых тел.

4) Понятие группы. Изоморфизмы групп. Циклические группы, свободная группа. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы. Привед?нная система вычетов как группа. Теоремы Эйлера и Вильсона из теории чисел. 5) Гомоморфизмы групп. Понятия нормального делителя и факторгруппы. Факторгруппа как группа смежных классов. Нормальность коммутанта группы. 6) Конические сечения. Геометрическое определение эллипса и гиперболы. Оптическое свойство эллипса и гиперболы, изогональное свойство эллипса и гиперболы. Сферы Данделена. 7) Канонические уравнения эллипса и гиперболы: ского определений эллипса и гиперболы.

x2 y 2 + 2 = 1. a2 b

Эквивалентность алгебраического и геометриче-

8) Экспоненциальный ряд: cходимость, мультипликативное свойство, монотонность, непрерывность. Натуральный логарифм. Действительная степень положительного числа. 9) Конечные автоматы и теорема Нероуда. Машина Тьюринга и теорема об алгоритмической неразрешимости самоприменимости. Схемы из функциональных элементов с элементами задержки как конечные автоматы. 10) Булевы функции. Задание булевой функции схемой из функциональных элементов и формулой. Замкнутые классы булевых функций. Классы

T0 , T1 , S , M , L.

Полные системы булевых функций, теорема Поста. Базис из

булевых функций, количество функций в н?м. 11) Зацепления и косы. Плоская диаграмма зацепления. Движения Рейдемейстера. Эквивалентность восьм?рки и зеркальной восьм?рки. Понятие правильной раскраски зацепления. Инвариантность количества правильных раскрасок относительно движений Рейдемейстера. Неэквивалентность трилистника и восьм?рки. Нерасцепляемость колец Борромео. Косы как группа. Базисные косы, коммутаторы базисных кос. Уравнение Янга-Бакстера. 12) Понятие дифференцируемости. Арифметические свойства производной: производная линейной комбинации функций и правило Лейбница. Производная сложной функции. Теорема о производной обратной функции. 13) Принцип Ферма как необходимое условие экстремума в точке дифференцируемости функции. Теоремы Ролля и Лагранжа. Участки монотонности функции. Достаточные условия экстремума: разная монотонность производной по разные стороны от точки возможного экстремума, отличие от нуля второй производной в точке возможного экстремума. Выпуклость функции, неравенсто Йенсена. 14) Теоремы Ролля и Лагранжа для полиномиальной аппроксимации. Теорема Лагранжа о погрешности полиномиальной аппроксимации. Многочлен Тейлора как полиномиальная аппроксимация. Остаточный член многочлена Тейлора в форме Пеано и в форме Лагранжа. Ряд Тейлора. Сходимость ряда Тейлора в 0 для экспоненты, синуса и косинуса.

15

) Равенство

e = exp 1

.

16 ) Кривые на плоскости и в пространстве. Параметризация кривой. Эквивалентные кривые. Вариация кривой,
аддитивность вариации, независимость вариации от выбора параметризации. Непрерывность. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке. Вариация непрерывной кривой.

17

) Логарифм как площадь под участком гиперболы. Обоснование геометрического определения логарифма. Ло-

гарифм числа, меньшего 1. Геометрический смысл аддитивного свойства логарифма. Константа Эйлера-Маскерони. Логарифм в задачах физического содержания: барометрическая формула, задача о вер?вке, намотанной на бревно.

18

) Задача о письмах и задача о принцессе и толпе принцев.

19 ) Теория вероятностей. Определение случайной величины. Сумма случайных величин и формула полной вероятности. Матожидание и дисперсия случайной величины, неравенство Чебыш?ва, закон больших чисел. Биномиальное, геометрическое и пуассоновское распределения.