Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2010_2011/10mat_1011/spec/dec_20_logarithm.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:16:31 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 07:38:51 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: iceland

Гимназия 1543

Логарифмы были придуманы в начале 1600-х годов в Шотландии Джоном Непером (John Naiper, 15501617). Он был из старинного воинственного шотландского рода, но прославился не этим. Непер изучал логику, теологию, право, физику, математику, этику; увлекался алхимией и астрологией. Изобрел несколько полезных сельскохозяйственных орудий. В связи с астрологией он составлял таблицы движение планет. Для этого ему нужно было в больших количествах вычислять синусы и косинусы сумм углов: sin( + ) = sin cos + cos sin . У Непера были таблицы всех тригонометрических функций, и он наш?л способ сэкономить на умножении. Благодаря этому Непер и известен нам. А изобр?л он таблицу логарифмов. 1. Пусть есть готовая таблица целых степеней числа (1 - 10-7 ): 1, (1 - 10-7 )1 , (1 - 10-7 )2 , . . . ,(1 - 10-7 )y-1 , (1 - 10-7 )y ћ Пусть заранее вычислены подряд все такие числа от 1 до достаточно большого y . Достаточно большого чтобы получившееся число (1 - 10-7 )y было маленьким. Придумайте, как с помощью такой таблицы чисел можно приближ?нно сосчитать произведение каких-нибудь двух чисел от 0 до 1, скажем, 0.234567 Ч 0.76543, не тратя силы на их умножение их в столбик? 2. Рассмотрим число, чуть большее единицы: (1 + 10-4 ). Будем возводить его в целые степени y и смотреть, какие числа получаются: xy = (1 + 10-4 )y . ћ Выразите разности соседних чисел xy+1 и xy через xy : 1 = x1 - x0 = (1 + 10-4 )1 - 1 =? 2 = x2 - x1 = (1 + 10-4 )2 - (1 + 10-4 )1 =? 3 = x3 - x2 = (1 + 10-4 )3 - (1 + 10-4 )2 =? . . . y+1 = xy+1 - xy = (1 + 10-4 )y+1 - (1 + 10-4 )y =?

Как придумать логарифм
10-В класс

20 декабря 2010 г.

ћ Предложите простой способ сосчитать всю таблицу чисел: x0 , x1 , x2 , . . . , xу , используя наименьшее число арифметических операций.
3. В получившейся таблице есть не очень красивый момент: небольшим x соответствуют гигантские y . Попробуем поправить. Сделаем замену: y = 10-4 y . ~ Тогда для соседних чисел y и y + 1, соответсвующие им y отличаются на 10-4 . ~ ћ Напишите, как связаны x и y . Что это напоминает? ~ (x - x ) (x - x ) (x - x ) (x - x ) (x1 - x0 ) + 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 + ћ ћ ћ + y x y -1 . ћ Покажите, что y = ~ x0 1 2 3 y ћ Изобразите эту сумму как сумму площадей прямоугольников, левые края которых лежат на гиперболе y = 1/x. ~ Насколько отличаются высоты соседних прямоуголников? Насколько отличаются их ширины? 4. Теория: Переход к пределу 10-4 0. Будем рассматривать вс? более близкие к 1 числа (1 + 10-n ). Разбиение на прямоугольник, построенные на гиперболе y = 1/x станет вс? более ~ и более мелким. Их суммарная площадь будет вс? ближе и ближе к площади под участком гиперболы от 1 до x. Итак, мы доказали, что если ey = x, то y равно площади под участком гиперболы от 1 до x: S(1, x) 5. Свойства площади под гиперболой.

ћ

ћ S(x1 , x2 ) = S(a ћ x1 , a ћ x2 ) Изобразите графически оба участка: (x1 , x2 ) и (a ћ x1 , a ћ x2 ) ћ

Аддитивность площади (addition сложение): S(a, b) + S(b, c) = S Неизменность площади при растяжении по x со сжатием по y: ~ Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

(a, c)

S(1, x ћ y ) = S(1, x) + S(1, y )

6. Повторите достижение Непера: как с помощью таблицы логарифмов синусов и логарифмов косинусов найти синус суммы двух углов? Спланируйте вычисления.