Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2010_2011/10mat_1011/spec/nov_08_factorgroup_upr2.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:16:38 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:10:15 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.iki.rssi.ru

Гимназия 1543, 10-В класс, 8 ноября. 1) Существуют ли нормальные и не нормальные собственные подгруппы в Q ? в Z? в Zn ? + 2) Пусть даны группа G и некоторая е? подгруппа H . Докажите, что если |G|/|H | = 2, то H нормальна в G. 3) Докажите, что коммутант группы является е? нормальным делителем, а факторгруппа группы по е? коммутанту является абелевой. 4) Пусть G := D4 группа самосовмещений квадрата, H е? подгруппа, содержащая симметрии относительно диагоналей квадрата, центральную симметрию и тождественное отображение, а K е? подгруппа, содержащая только симметрию относительно одной из диагоналей квадрата и тождественное отображение. Правда ли, что K H G? А что K G? 5) Рассмотрим группу поворотов квадрата и группу самосовмещений ромба. Сколько в каждой из них элементов? Изоморфны ли они? Изоморфна ли D4 /H хотя бы одной из них, где D4 группа самосовмещений квадрата, а H е? подгруппа, содержащая центральную симметрию и тождественное преобразование? 6) Докажите, что любая группа G является факторгруппой некоторой свободной группы по некому е? нормальному делителю. Любой набор образующих этого делителя называется набором определяющих соотношений группы G. 7) Рассмотрим свободную группу с алфавитом {a}. Какая группа порождается определяющим соотношением an ? 8) Докажите, что группа векторов на плоской целочисленной реш?тке по сложению порождается соотношением aba-1 b-1 на свободной группе с алфавитом {a, b}. Гимназия 1543, 10-В класс, 8 ноября. 1) Существуют ли нормальные и не нормальные собственные подгруппы в Q ? в Z? в Zn ? + 2) Пусть даны группа G и некоторая е? подгруппа H . Докажите, что если |G|/|H | = 2, то H нормальна в G. 3) Докажите, что коммутант группы является е? нормальным делителем, а факторгруппа группы по е? коммутанту является абелевой. 4) Пусть G := D4 группа самосовмещений квадрата, H е? подгруппа, содержащая симметрии относительно диагоналей квадрата, центральную симметрию и тождественное отображение, а K е? подгруппа, содержащая только симметрию относительно одной из диагоналей квадрата и тождественное отображение. Правда ли, что K H G? А что K G? 5) Рассмотрим группу поворотов квадрата и группу самосовмещений ромба. Сколько в каждой из них элементов? Изоморфны ли они? Изоморфна ли D4 /H хотя бы одной из них, где D4 группа самосовмещений квадрата, а H е? подгруппа, содержащая центральную симметрию и тождественное преобразование? 6) Докажите, что любая группа G является факторгруппой некоторой свободной группы по некому е? нормальному делителю. Любой набор образующих этого делителя называется набором определяющих соотношений группы G. 7) Рассмотрим свободную группу с алфавитом {a}. Какая группа порождается определяющим соотношением an ? 8) Докажите, что группа векторов на плоской целочисленной реш?тке по сложению порождается соотношением aba-1 b-1 на свободной группе с алфавитом {a, b}. Гимназия 1543, 10-В класс, 8 ноября. 1) Существуют ли нормальные и не нормальные собственные подгруппы в Q ? в Z? в Zn ? + 2) Пусть даны группа G и некоторая е? подгруппа H . Докажите, что если |G|/|H | = 2, то H нормальна в G. 3) Докажите, что коммутант группы является е? нормальным делителем, а факторгруппа группы по е? коммутанту является абелевой. 4) Пусть G := D4 группа самосовмещений квадрата, H е? подгруппа, содержащая симметрии относительно диагоналей квадрата, центральную симметрию и тождественное отображение, а K е? подгруппа, содержащая только симметрию относительно одной из диагоналей квадрата и тождественное отображение. Правда ли, что K H G? А что K G? 5) Рассмотрим группу поворотов квадрата и группу самосовмещений ромба. Сколько в каждой из них элементов? Изоморфны ли они? Изоморфна ли D4 /H хотя бы одной из них, где D4 группа самосовмещений квадрата, а H е? подгруппа, содержащая центральную симметрию и тождественное преобразование? 6) Докажите, что любая группа G является факторгруппой некоторой свободной группы по некому е? нормальному делителю. Любой набор образующих этого делителя называется набором определяющих соотношений группы G. 7) Рассмотрим свободную группу с алфавитом {a}. Какая группа порождается определяющим соотношением an ? 8) Докажите, что группа векторов на плоской целочисленной реш?тке по сложению порождается соотношением aba-1 b-1 на свободной группе с алфавитом {a, b}.
Гомоморфизмы и факторгруппы. Гомоморфизмы и факторгруппы. Гомоморфизмы и факторгруппы.