Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2010_2011/10mat_1011/alg/a1015-1011-zachot-lim-posled-sait.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:15:07 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:26:18 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: solar eclipse

Гимназия 1543

Зачет по теме "Предел последовательности"

10-В класс

21 декабря 2010 г.

Теория

1. Определение действительного числа. Докажите, что действительное число является рациональным тогда и только тогда, когда оно записывается конечной или бесконечной периодической дробью. Сравнение действительных чисел. 2. Аксиома непрерывности. Доказательство ее выполнимости на рассматриваемой модели множества действительных чисел. Условие единственности разделяющего числа. Теорема о точной верхней грани. 3. Определения арифметических действий над действительными числами. Корректность определения суммы. 4. Определения предела и предельной точки. Определение расходящейся последовательности. Докажите, что
n

lim

n

n=1

.

5. Бесконечно малая последовательность. Теоремы о сумме бесконечно малых последовательностей и о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей. Теоремы о пределе суммы, разности и произведения. 6. Найдите предел последовательности
n

lim an

, для

|a| > 1

и

|a| < 1

. Докажите формулу суммы

бесконечной геометрической прогрессии. Докажите, что если для почти всех то
n

n

an+1 an

q<1

,

lim an = 0

.

7. Теорема о предельном переходе в неравенствах. Теорема о двух милиционерах. 8. Лемма Кантора о стягивающихся отрезках. Лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке. Теорема Вейерштрасса. 9. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши. Расходимость гармонического ряда. 10. Докажите существование предела
n n

lim

1+

1 n

=e

.

Задачи
11. Докажите по определению, что
2n - 10 n 3n - 7

lim

=

2 . 3

12. Приведите примеры (если это возможно): а) немонотонной последовательности, имеющей предел; б) последовательности рациональных чисел, стремящейся к



2

13. Обязательно ли предел последовательности является ее предельной точкой? А наоборот? Сколько предельных точек может быть у монотонной последовательности? 14. Верно ли, что: а) если некоторый отрезок является кормушкой для последовательности вне этого отрезка не может быть пределом последовательности довательности есть предельная точка; в) если у последовательности есть единственная предельная точка, то она является пределом этой последовательности; г) если у последовательности есть две предельные точки, то у нее нет предела? 15. Существует ли последовательность, множество предельных точек которой есть: а) в)

an x

, то никакое число

x

n; n , то у этой после-

б) если некоторый отрезок является кормушкой для последовательности

N;

б)

[0; 1]

;

Q;

г)

R

?

16. Может ли сходящаяся последовательность перестать быть сходящейся, если изменить конечное число ее членов?


17. Последовательность

bn

получена из сходящейся последовательности

an

перестановкой членов

(возможно, бесконечного их числа). Может ли последовательность пределу; б) расходиться?

bn

: а) сходиться к другому

18. Последовательность bn получена из сходящейся последовательности an изменением всех членов с нечетными номерами. Может ли последовательность bn : а) сходиться к другому пределу; б) расходиться? 19. Докажите, что подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу. 20. Докажите, что точка

a

является предельной точкой последовательности

an

тогда и только

тогда, когда существует подпоследовательность последовательности

an

, сходящаяся к

a.

21. Может ли сходящаяся последовательность не иметь ни наибольшего, ни наименьшего члена? 22. Бесконечно большие последовательности. Приведите пример последовательности: а) не стремящейся ни к

+

, ни к

-

, но являющейся бесконечно большой; б) неограниченной, но не

бесконечно большой. 23. Докажите, что последовательность

xn

большой тогда и только тогда, когда последовательность 24. Найдите
n

, не содержащая нулевых членов, является бесконечно 1 является бесконечно малой. xn

lim

sin n . n

25. Докажите, что следующие последовательности бесконечно малы: n an ; б) при всех a > 0 (факториал растет быстрее геометрической прогрессии) ; а) 2n n! k n в) при всех k N и a > 1 (геометрическая прогрессия растет быстрее любой степени). an 26. Пусть для почти всех
an+1 an б) Может ли последовательность

n

< 1. а) an иметь
; б)

Обязательно ли последовательность предел, отличный от нуля?

an

сходится?

27. Вычислите: а) и найдите его. 1 xn а) xn+1 = 2

2-

2-



2 - ...

3+

3+



3 + ...

.

28. Последовательность задана рекуррентным соотношением. Докажите, что она имеет предел,

+

a , xn

x1 = a > 1

.

б)

x

n+1

=

1 3

2xn +

a . x2 n
n+1

29. Последовательность задана рекуррентным соотношением: чена ли она? 30. Найдите
n

x1 = a, x

= xn +

1 . Ограниxn

lim

n

10

.